Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022434

Опять арифметика остатков. Среднее любых трёх целое — сумма любых трёх делится на 3; то же с четвёрками (делится на 4), пятёрками (на 5) и шестёрками (на 6). Сравнивая наборы, отличающиеся одним числом, получаем: все числа сравнимы между собой по модулю 3, по модулю 4 и по модулю 5. Значит все они сравнимы по модулю $\mathrm{HOK}(3,4,5)=60$ (делимость на 6 при этом уже выполняется автоматически). Одно из чисел $30\,033=60\cdot 500+33$ даёт остаток 33, поэтому все числа дают остаток 33 по модулю 60.

а) $303=60\cdot 5+3$ даёт остаток 3, а нужно 33. Не совпадает. Ответ: нет.

б) Пусть $b=31a$, где $a$ и $b$ — числа с доски, оба с остатком 33 по модулю 60. Тогда $b\equiv 31\cdot 33\pmod{60}$. Считаем: $31\cdot 33=1023=60\cdot 17+3$, то есть $b\equiv 3\pmod{60}$. Но $b$ должно давать остаток 33. Противоречие. Ответ: нет.

в) Пусть $b=n^2\cdot a$, где $a,b$ — числа с доски, оба с остатком 33. Тогда $33\,n^2\equiv 33\pmod{60}$, то есть $33(n^2-1)$ делится на 60. Так как $\gcd(33,60)=3$, это равносильно тому, что $11(n^2-1)$ делится на 20, а поскольку $\gcd(11,20)=1$ — тому, что $n^2-1$ делится на 20, то есть $n^2\equiv 1\pmod{20}$. Наименьшее $n>1$ с таким свойством: перебирая, находим $n=9$ ($81\equiv 1\pmod{20}$). Пример существует: возьмём $a=33$, $b=81\cdot 33=2673$; оба дают остаток 33 по модулю 60, отношение $b/a=81=9^2$. Значит наименьшее $n=9$. Ответ: 9.