Опять арифметика остатков. Среднее любых трёх целое — сумма любых трёх делится на 3; то же с четвёрками (делится на 4), пятёрками (на 5) и шестёрками (на 6). Сравнивая наборы, отличающиеся одним числом, получаем: все числа сравнимы между собой по модулю 3, по модулю 4 и по модулю 5. Значит все они сравнимы по модулю \mathrm{HOK}(3,4,5)=60 (делимость на 6 при этом уже выполняется автоматически). Одно из чисел 30\,033=60\cdot 500+33 даёт остаток 33, поэтому все числа дают остаток 33 по модулю 60.

а) 303=60\cdot 5+3 даёт остаток 3, а нужно 33. Не совпадает. Ответ: нет.

б) Пусть b=31a, где a и b — числа с доски, оба с остатком 33 по модулю 60. Тогда b\equiv 31\cdot 33\pmod{60}. Считаем: 31\cdot 33=1023=60\cdot 17+3, то есть b\equiv 3\pmod{60}. Но b должно давать остаток 33. Противоречие. Ответ: нет.

в) Пусть b=n^2\cdot a, где a,b — числа с доски, оба с остатком 33. Тогда 33\,n^2\equiv 33\pmod{60}, то есть 33(n^2-1) делится на 60. Так как \gcd(33,60)=3, это равносильно тому, что 11(n^2-1) делится на 20, а поскольку \gcd(11,20)=1 — тому, что n^2-1 делится на 20, то есть n^2\equiv 1\pmod{20}. Наименьшее n>1 с таким свойством: перебирая, находим n=9 (81\equiv 1\pmod{20}). Пример существует: возьмём a=33, b=81\cdot 33=2673; оба дают остаток 33 по модулю 60, отношение b/a=81=9^2. Значит наименьшее n=9. Ответ: 9.