Пусть в школе №1 писали n_1 учеников со средним a (целым), в №2 — n_2 со средним b (целым); при этом n_1+n_2=9 и в каждой школе не меньше двух человек. Ученик с баллом x переходит из №1 в №2.

а) Может ли средний в №1 уменьшиться в 10 раз? Пусть в №1 всего два ученика с баллами 1 и 19 — средний \dfrac{1+19}{2}=10. Уходит тот, у кого 19; остаётся один ученик с баллом 1, и новый средний равен 1, то есть в 10 раз меньше. Школа №2 — например, семь учеников по 1 баллу (средний 1, целое). Всё условие выполнено, так что да, может.

б) Пусть оба средних уменьшились на 10\%, то есть новый средний в №2 равен 0{,}9b, и пусть b=7. Тогда \dfrac{b n_2+x}{n_2+1}=0{,}9b, откуда x=\dfrac{b(9-n_2)}{10}=\dfrac{7(9-n_2)}{10}. При n_2 от 2 до 7 числитель 7\cdot(9-n_2) пробегает значения 14,21,28,35,42,49 — ни одно не делится на 10, поэтому x не может быть натуральным. Значит первоначальный средний в №2 не может равняться 7.

в) Пусть оба средних уменьшились на 10\%. Из №1 получаем x=\dfrac{a(n_1+9)}{10}, из №2 — x=\dfrac{b(9-n_2)}{10}, где n_2=9-n_1, так что 9-n_2=n_1. Приравняв, получаем a(n_1+9)=b\,n_1, то есть b=\dfrac{a(n_1+9)}{n_1}. Перебирая n_1 от 2 до 7 и требуя, чтобы b и x были целыми, наименьшее b получаем при n_1=6, a=2: тогда b=\dfrac{2\cdot15}{6}=5 и x=\dfrac{2\cdot15}{10}=3. Проверка: в №1 шесть учеников со средним 2 (сумма 12), уходит ученик с баллом 3, на пятерых остаётся сумма 9 — средний 1{,}8=0{,}9\cdot2; в №2 три ученика со средним 5 (сумма 15), после прихода \dfrac{15+3}{4}=4{,}5=0{,}9\cdot5. Значит наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2 — 5.