Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022423

Пусть в школе №1 писали $n_1$ учеников со средним $a$ (целым), в №2 — $n_2$ со средним $b$ (целым); при этом $n_1+n_2=9$ и в каждой школе не меньше двух человек. Ученик с баллом $x$ переходит из №1 в №2.

а) Может ли средний в №1 уменьшиться в $10$ раз? Пусть в №1 всего два ученика с баллами $1$ и $19$ — средний $\dfrac{1+19}{2}=10$. Уходит тот, у кого $19$; остаётся один ученик с баллом $1$, и новый средний равен $1$, то есть в $10$ раз меньше. Школа №2 — например, семь учеников по $1$ баллу (средний $1$, целое). Всё условие выполнено, так что да, может.

б) Пусть оба средних уменьшились на $10\%$, то есть новый средний в №2 равен $0{,}9b$, и пусть $b=7$. Тогда $\dfrac{b n_2+x}{n_2+1}=0{,}9b$, откуда $x=\dfrac{b(9-n_2)}{10}=\dfrac{7(9-n_2)}{10}$. При $n_2$ от $2$ до $7$ числитель $7\cdot(9-n_2)$ пробегает значения $14,21,28,35,42,49$ — ни одно не делится на $10$, поэтому $x$ не может быть натуральным. Значит первоначальный средний в №2 не может равняться $7$.

в) Пусть оба средних уменьшились на $10\%$. Из №1 получаем $x=\dfrac{a(n_1+9)}{10}$, из №2 — $x=\dfrac{b(9-n_2)}{10}$, где $n_2=9-n_1$, так что $9-n_2=n_1$. Приравняв, получаем $a(n_1+9)=b\,n_1$, то есть $b=\dfrac{a(n_1+9)}{n_1}$. Перебирая $n_1$ от $2$ до $7$ и требуя, чтобы $b$ и $x$ были целыми, наименьшее $b$ получаем при $n_1=6$, $a=2$: тогда $b=\dfrac{2\cdot15}{6}=5$ и $x=\dfrac{2\cdot15}{10}=3$. Проверка: в №1 шесть учеников со средним $2$ (сумма $12$), уходит ученик с баллом $3$, на пятерых остаётся сумма $9$ — средний $1{,}8=0{,}9\cdot2$; в №2 три ученика со средним $5$ (сумма $15$), после прихода $\dfrac{15+3}{4}=4{,}5=0{,}9\cdot5$. Значит наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2 — $5$.