Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043863

Пункт а. Последовательность $x,\ 8x,\ x$ имеет сумму $10x=4040$, $x=404$: $404,\ 3232,\ 404$. Итак, да.

Пункт б. Заметим, что $8=9-1$, поэтому $8a$ при делении на $9$ даёт тот же остаток, что и $-a$. Если $b=8a$, то $b\equiv -a\pmod 9$; если $b=\dfrac{a}{8}$, то $a=8b\equiv -b$, и тоже $b\equiv -a$. Итак, остатки соседних членов противоположны.

Для четырёх членов $a_1,a_2,a_3,a_4$: $a_2\equiv -a_1$, $a_3\equiv a_1$, $a_4\equiv -a_1$, сумма $\equiv a_1-a_1+a_1-a_1=0\pmod 9$. Но сумма цифр $4040$ равна $8$, и $4040$ на $9$ не делится. Итак, нет.

Пункт в. Те же рассуждения показывают, что сумма любого чётного числа членов делится на $9$. Значит, членов нечётное число: $n=2m+1$.

Два соседних члена — натуральные числа, одно в $8$ раз больше другого, поэтому их сумма не меньше $1+8=9$. Разбив первые $2m$ членов на $m$ пар и учтя последний член ($\ge 1$), получаем

$$4040\ge 9m+1,\qquad m\le\dfrac{4039}{9}\lt 449,\qquad m\le 448,\qquad n\le 897.$$

Пример: $8,1,8,1,\ldots,1,8$ — $449$ восьмёрок и $448$ единиц, всего $897$ членов. Сумма $449\cdot 8+448=3592+448=4040$.

Наибольшее количество членов — $897$.