Задание 20 ЕГЭ по математике №00045671

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Задачи с историей

№2. Задание 20

ID: 00045671

Ширина одной секции забора равна 1,1 метра. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 40 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 6 метров?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $$L$$ (см) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $$L+10n$$ см $(n\in\mathbb N)$ .

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Первая секция даёт 110 см. Следующие добавляют 70 см при нахлёсте 40 см или 100 см при нахлёсте 10 см. Любая собираемая длина имеет вид $$110+70a+100b$$ с целыми $a,b\ge0$ .

Для 600 см после первой секции нужны 490 см. Это $7\cdot70$ , значит, подходят восемь секций со всеми нахлёстами 40 см. Проверка: $8\cdot110-7\cdot40=600$ .

Для 500 см получаем $$7a+10b=39$$ . Здесь $0\le b\le3$ . По модулю 7: $3b\equiv4$ , то есть $b\equiv6$ . Подходящих значений в диапазоне нет, поэтому 500 см собрать нельзя.

Для общего порога рассмотрим $$q=(L-110)/10=7a+10b$$ . Число 53 не представимо: $b\le5$ , но по модулю 7 то же сравнение $3b\equiv4$ требует $b\equiv6$ . Поэтому длина $$110+530=640$$ см невозможна.

Все семь следующих чисел представимы: $54=2\cdot7+4\cdot10$ , $55=5\cdot7+2\cdot10$ , $56=8\cdot7$ , $57=7+5\cdot10$ , $58=4\cdot7+3\cdot10$ , $59=7\cdot7+10$ , $60=6\cdot10$ .

Добавляя к этим представлениям семёрки, получим каждое целое число не меньше 54. Это соответствует дополнительным секциям с нахлёстом 40 см.

Следовательно, подходят $$L=110+540=650$$ см и все последующие длины с шагом 10 см. Меньший собираемый порог невозможен: среди его последующих длин встретится несобираемая длина 640 см. Значит, 650 см — минимум.

Ответ

а) Да.

б) Нет.

в) $$650$$ см.

Другие задания по теме «Задачи с историей» (8)