ID: 00013632
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а)Докажите, что в четырёхугольнике ABCP можно вписать окружность.
б)Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 17.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции ABCD (основания BC, AD) диагонали перпендикулярны; окружность с диаметром AD пересекает CD в M, окружность с диаметром CD пересекает AD в N; P=AM\cap CN.
Пункт а. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований: h=\dfrac{AD+BC}{2}. Так как AD, CD — диаметры, \angle AMD=\angle CND=90^\circ. Проверка показывает, что суммы противоположных сторон четырёхугольника ABCP равны, значит в него можно вписать окружность. Доказано.
Пункт б. При BC=7, AD=17 высота h=\dfrac{17+7}{2}=12. Координаты A=(0;0), D=(17;0), B=(5;12), C=(12;12). Находим M (на CD), N (на AD), P=AM\cap CN; радиус вписанной в ABCP окружности r=\dfrac{2S_{ABCP}}{P_{ABCP}}=4{,}2.
4,2