Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045652

Возьмём $D=(0;0)$, $C=(w;0)$, $A=(0;h)$, $B=(w;h)$. Точка $E$ лежит ниже $B$ на стороне $BC$, поэтому луч $DE$ образует с $DC$ угол $30^\circ$, а $DB$ — угол $60^\circ$. Значит, $h/w=\sqrt3$ и $E=(w;h/3)$.

Диагональ $DB$ имеет уравнение $y=hx/w$. Прямая $AE$ соединяет $(0;h)$ и $(w;h/3)$, поэтому $y=h-2hx/(3w)$.

В точке их пересечения $N$ имеем $hx/w=h-2hx/(3w)$. Отсюда $x_N=3w/5$, $y_N=3h/5$. Точка $O$ — середина диагонали, то есть $O=(w/2;h/2)$.

На диагонали $DN=(3/5)DB$, $DO=DB/2$, поэтому $NO=DB/10$. При этом $DB=\sqrt{w^2+h^2}=\sqrt{w^2+3w^2}=2w$. Значит, $NO=w/5=AB/5$, что доказывает пункт а.

Найдём $P=AC\cap DE$. Уравнение $AC$: $y=h-hx/w$, а $DE$: $y=hx/(3w)$. Приравняв, получаем $x_P=3w/4$, $y_P=h/4$.

Диагональ разрезает треугольник $AEP$ на треугольник $AON$ и четырёхугольник $NEPO$. У треугольников $AON$ и $AEP$ общий угол при $A$, поэтому отношение площадей равно произведению отношений прилежащих сторон.

По координатам на $AE$ имеем $AN/AE=3/5$. На $AC$ отношение $AO/AP=(w/2)/(3w/4)=2/3$. Следовательно, $S_{AON}/S_{AEP}=(3/5)(2/3)=2/5$.

Четырёхугольник занимает остальные $3/5$, поэтому отношение меньшей площади к большей равно $2:3$; обратное отношение $3:2$ описывает те же две фигуры в другом порядке.

Проверим при $w=1$: $h=\sqrt3$, $NO=\sqrt{(1/10)^2+(\sqrt3/10)^2}=1/5$. Отношения сторон не зависят от масштаба.