Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045656

Пусть $AD=BC=b$, $AB=s\gt b$. Обозначим единичные векторы вдоль $AD$ и $AB$ через $u,v$. Тогда при начале координат в $A$ имеем $D=bu$, $B=sv$, $O=(bu+sv)/2$.

Биссектриса угла $A$ направлена вдоль $u+v$, а биссектриса угла $D$ — вдоль $v-u$. Их пересечение определяется равенством $t(u+v)=bu+z(v-u)$. Сравнение коэффициентов даёт $t=z=b/2$.

Поэтому $L=b(u+v)/2$ и $O-L=(s-b)v/2$. Длина единичного $v$ равна $1$, значит $OL=(s-b)/2=(AB-BC)/2$.

Пусть угол между сторонами равен $\theta$. Тогда $|u+v|=2\cos(\theta/2)$ и $AL=b\cos(\theta/2)$. По данным $\cos(\theta/2)=16/20=4/5$, поэтому $\sin(\theta/2)=3/5$ и $\sin\theta=2\cdot4/5\cdot3/5=24/25$.

Теперь площадь. Из равенства $O-L=(s-b)v/2$ видно, что отрезок $OL$ параллелен стороне $AB$, а значит, и стороне $DC$. Возьмём $OL$ за основание треугольника $DOL$: по пункту а $OL=(32-20)/2=6$.

Высота к этому основанию — расстояние от точки $D$ до прямой $OL$. Точка $D$ лежит на прямой $DC$, параллельной $OL$, поэтому это расстояние равно расстоянию от точки $L$ до прямой $DC$.

Найдём его. Сумма углов $A$ и $D$ параллелограмма равна $180^\circ$, значит, сумма их половин равна $90^\circ$: биссектрисы перпендикулярны, и треугольник $ADL$ прямоугольный. По теореме Пифагора $DL=\sqrt{AD^2-AL^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12$.

Угол $LDC$ — половина угла $D$, то есть $90^\circ-\theta/2$. Его синус равен $\cos(\theta/2)=4/5$. Поэтому расстояние от $L$ до прямой $DC$ равно $DL\cdot\sin\angle LDC=12\cdot4/5=9{,}6$.

Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту: $S_{DOL}=\frac12\cdot6\cdot9{,}6=28{,}8$.

Проверим тем же рассуждением в общем виде. Основание $OL=(s-b)/2$; высота равна $DL\cos(\theta/2)=b\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)=\frac b2\sin\theta$. Тогда $S=\frac12\cdot\frac{s-b}2\cdot\frac b2\sin\theta=\frac{b(s-b)\sin\theta}8=\frac{20\cdot12\cdot24/25}8=28{,}8$ — то же число.