Задание 18 ЕГЭ по математике №00045655

Вписанная трапеция равнобедренная: из суммы противоположных углов и параллельности оснований следует равенство углов при каждом основании. Выберем $A=(-a;0)$, $D=(a;0)$, $B=(-b;h)$, $C=(b;h)$, где $a\gt b\gt0$.

Центр первой окружности лежит на оси симметрии. Из равенства расстояний до $A$ и $B$ его высота равна $y_0=(b^2+h^2-a^2)/(2h)$. Она всегда меньше $h$, поэтому положение центра вне трапеции означает $y_0\lt0$.

Для верхней трапеции $KBCM$ нижняя полудлина $c=(a+b)/2$, нижняя высота $h/2$, верхняя — $h$. Высота нового центра из равенства расстояний до $K$ и $B$ равна $y_2=(b^2-c^2+3h^2/4)/h$.

Вычтем высоту нижнего основания: $y_2-h/2=y_0/2-b(a-b)/(2h)$. При $y_0\lt0$ правая часть отрицательна, то есть новый центр ниже $KM$. Следовательно, он вне $KBCM$, что и требовалось доказать.

В пункте б $a=10$, $b=5$, $AB=10$. Поэтому $h=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3$, $c=15/2$.

Вычисляем $y_2=(25-225/4+225/4)/(5\sqrt3)=5/\sqrt3$. Расстояние по вертикали от центра до $B$ равно $5\sqrt3-5/\sqrt3=10/\sqrt3$.

Искомый радиус равен $\sqrt{5^2+(10/\sqrt3)^2}=\sqrt{175/3}=5\sqrt{21}/3$. Проверка по вершине $K$: её координаты $(-15/2;5\sqrt3/2)$ дают тот же квадрат расстояния $225/4+25/12=175/3$.