Задание 18 ЕГЭ по математике №00043793

Здесь четырёхугольник вписан в окружность и известны три его стороны. Длина хорды определяется углом, под которым она видна из центра, поэтому решим через центральные углы.

Пункт а. Хорды $AB$ и $CD$ равны, поэтому равны стягиваемые ими дуги (не содержащие других вершин). На эти дуги опираются вписанные углы $ADB$ и $CBD$, значит, они равны. Это накрест лежащие углы при прямых $AD$, $BC$ и секущей $BD$, поэтому $AD\parallel BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Опустим из центра $O$ перпендикуляр на хорду: он делит её пополам и делит пополам её центральный угол. Половина хорды, радиус и этот перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник.

Пусть $\delta$ — центральный угол хорды $AB$ (и $CD$), $\gamma$ — хорды $BC$. Для $AB=40$: половина хорды $20$, радиус $25$, расстояние от центра $\sqrt{625-400}=15$. Для $BC=14$: половина $7$, расстояние $\sqrt{625-49}=24$. Отсюда

$$\sin\dfrac\delta2=\dfrac{20}{25}=\dfrac45,\quad \cos\dfrac\delta2=\dfrac{15}{25}=\dfrac35;\qquad \sin\dfrac\gamma2=\dfrac{7}{25},\quad \cos\dfrac\gamma2=\dfrac{24}{25}.$$

Дуги $AB$, $BC$, $CD$ меньше полуокружности (две равные дуги $AB$ и $CD$ вместе не больше $360^\circ$; дуга $BC$ при хорде $14$ мала), поэтому центральный угол дуги $DA$ равен $360^\circ-2\delta-\gamma$, а половина его — $180^\circ-\delta-\dfrac\gamma2$. Тогда

$$AD=2R\sin\left(180^\circ-\delta-\dfrac\gamma2\right)=2R\sin\left(\delta+\dfrac\gamma2\right).$$

Найдём $\sin\delta$ и $\cos\delta$ по формулам двойного угла:

$$\sin\delta=2\cdot\dfrac45\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{25},\qquad \cos\delta=\dfrac{9}{25}-\dfrac{16}{25}=-\dfrac{7}{25}.$$

Косинус отрицателен: хорда $40$ длиннее $R\sqrt2\approx35{,}4$, и её центральный угол тупой.

$$\sin\left(\delta+\dfrac\gamma2\right)=\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{24}{25}+\left(-\dfrac{7}{25}\right)\cdot\dfrac{7}{25}=\dfrac{576-49}{625}=\dfrac{527}{625}.$$

$$AD=50\cdot\dfrac{527}{625}=\dfrac{527}{12{,}5}=42{,}16.$$

Проверим вторым способом. Вписанные углы: $\sin\angle BDC=\dfrac{14}{50}=\dfrac7{25}$, $\sin\angle ADB=\dfrac{40}{50}=\dfrac45$, оба острые. $\cos\angle ADC=\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac35-\dfrac7{25}\cdot\dfrac45=\dfrac{44}{125}$. В равнобокой трапеции $AD=BC+2\cdot CD\cos\angle ADC=14+80\cdot\dfrac{44}{125}=14+28{,}16=42{,}16$. Совпало. И $AD=42{,}16\gt BC=14$: хорда $AD$ — большее основание, как и должно быть, ведь её дуга — всё, что осталось от трёх других.