Задание 18 ЕГЭ по математике №00045654

Вписанная в окружность трапеция равнобедренная: её противоположные углы в сумме дают $180^\circ$, а из параллельности оснований это приводит к равенству углов при основании. Поэтому можно выбрать симметричные координаты $A=(-a;0)$, $D=(a;0)$, $B=(-b;h)$, $C=(b;h)$, где $a\gt b\gt0$, $h\gt0$.

Центр первой окружности лежит на оси симметрии: $O=(0;y_0)$. Из равенства $OA^2=OB^2$ получаем $a^2+y_0^2=b^2+(h-y_0)^2$, то есть $y_0=(b^2+h^2-a^2)/(2h)$.

Всегда $y_0\lt h$, поскольку $b^2-a^2\lt h^2$. Поэтому если центр вне трапеции, он находится ниже большого основания: $y_0\lt0$.

У трапеции $AKMD$ верхнее основание находится на высоте $h/2$, а его полудлина $c=(a+b)/2$. Координата её центра равна $y_1=(c^2+h^2/4-a^2)/h=y_0/2-a(a-b)/(2h)$.

При $y_0\lt0$ оба слагаемых последнего выражения отрицательны, значит $y_1\lt0$. Центр второй окружности тоже ниже $AD$, то есть вне трапеции $AKMD$. Пункт а доказан.

В пункте б $a=10$, $b=5$, боковая сторона $10$. По теореме Пифагора $h=\sqrt{10^2-(10-5)^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3$. Тогда $c=15/2$.

Получаем $y_1=((15/2)^2+(5\sqrt3)^2/4-100)/(5\sqrt3)=(225/4+75/4-100)/(5\sqrt3)=-5/\sqrt3$.

Центр второй окружности обозначим $O_1$: это точка $(0;y_1)=(0;-5/\sqrt3)$, она лежит ниже $AD$. Радиус второй окружности равен расстоянию $O_1A=\sqrt{10^2+(5/\sqrt3)^2}=\sqrt{325/3}=5\sqrt{39}/3$. Проверка: у первой окружности $y_0=0$ и радиус $10$, как дано в условии.