Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045657

Положим $AD=b$, $AB=s\lt b$, а единичные направления этих сторон обозначим $u,v$. При начале в $A$ получаем $D=bu$, $O=(bu+sv)/2$.

Биссектрисы направлены вдоль $u+v$ из $A$ и $v-u$ из $D$. Равенство $t(u+v)=bu+z(v-u)$ даёт $t=z=b/2$. Поэтому $L=b(u+v)/2$.

Вычитаем: $L-O=(b-s)v/2$. Так как $|v|=1$, получаем $OL=(b-s)/2=(AD-AB)/2$. Положительность $b-s$ следует из условия, поэтому полученная длина положительна.

Для пункта б $b=BC=30$, $s=16$. Если угол между сторонами $\theta$, то $AL=b\cos(\theta/2)=24$. Следовательно, $\cos(\theta/2)=4/5$, $\sin(\theta/2)=3/5$ и $\sin\theta=24/25$.

Теперь площадь. Из равенства $L-O=(b-s)v/2$ видно, что отрезок $OL$ параллелен стороне $AB$, а значит, и стороне $DC$. Возьмём $OL$ за основание треугольника $DOL$: по пункту а $OL=(30-16)/2=7$.

Высота к этому основанию — расстояние от точки $D$ до прямой $OL$. Точка $D$ лежит на прямой $DC$, параллельной $OL$, поэтому это расстояние равно расстоянию от точки $L$ до прямой $DC$.

Найдём его. Сумма углов $A$ и $D$ параллелограмма равна $180^\circ$, значит, сумма их половин равна $90^\circ$: биссектрисы перпендикулярны, и треугольник $ADL$ прямоугольный. По теореме Пифагора $DL=\sqrt{AD^2-AL^2}=\sqrt{30^2-24^2}=\sqrt{324}=18$.

Угол $LDC$ — половина угла $D$, то есть $90^\circ-\theta/2$. Его синус равен $\cos(\theta/2)=4/5$. Поэтому расстояние от $L$ до прямой $DC$ равно $DL\cdot\sin\angle LDC=18\cdot4/5=14{,}4$.

Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту: $S_{DOL}=\frac12\cdot7\cdot14{,}4=50{,}4$.

Проверим тем же рассуждением в общем виде. Основание $OL=(b-s)/2$; высота равна $DL\cos(\theta/2)=b\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)=\frac b2\sin\theta$. Тогда $S=\frac12\cdot\frac{b-s}2\cdot\frac b2\sin\theta=\frac{b(b-s)\sin\theta}8=\frac{30\cdot14\cdot24/25}8=50{,}4$ — то же число.