Задание 18 ЕГЭ по математике №00043795

Здесь в трапецию «встроены» два описанных четырёхугольника. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны — с этого и начнём, а в пункте б поработаем с отрезками касательных.

Пункт а. Обозначим $BE=EC=m$, $AF=FD=n$. Условия вписанности для $ABEF$ и $ECDF$:

$$AB+EF=m+n,\qquad CD+EF=m+n.$$

Правые части одинаковы, поэтому $AB=CD$. Если бы боковые стороны трапеции были параллельны, она была бы параллелограммом, и основания были бы равны; но $BC$ — меньшее основание. Значит, трапеция с равными боковыми сторонами — равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Ось симметрии равнобедренной трапеции проходит через середины оснований, поэтому $EF$ перпендикулярен основаниям. Значит, $ABEF$ — прямоугольная трапеция с прямыми углами при $E$ и $F$, и $BE=\dfrac{16}{2}=8$.

Окружность радиуса $7$, вписанная в $ABEF$, касается параллельных сторон $BE$ и $AF$, поэтому $EF=2\cdot7=14$. У прямых углов $E$ и $F$ центр и точки касания образуют квадраты со стороной $7$: отрезки касательных из $E$ и $F$ равны $7$. Тогда отрезок касательной из $B$ равен $t_B=8-7=1$.

Центр $O$ этой окружности лежит на биссектрисах углов $A$ и $B$. Углы $A$ и $B$ в сумме дают $180^\circ$ ($BE\parallel AF$), их половины — $90^\circ$, поэтому угол $AOB$ прямой. В прямоугольном треугольнике $AOB$ радиус в точку касания с $AB$ — высота к гипотенузе, а квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы:

$$r^2=t_A\cdot t_B\iff 49=t_A\cdot1\iff t_A=49.$$

Итак, $AF=t_A+7=56$, $AD=112$, $AB=t_A+t_B=50$. Проверка Пифагором: проекция $AB$ на основание $56-8=48$, высота $14$, $\sqrt{48^2+14^2}=\sqrt{2304+196}=\sqrt{2500}=50$. Верно.

Центр описанной окружности лежит на оси симметрии $EF$. Координаты: $F(0;0)$, $A(-56;0)$, $B(-8;14)$, центр $Q(0;y)$. Из $QA=QB$:

$$56^2+y^2=8^2+(14-y)^2\iff 3136=64+196-28y\iff y=-\dfrac{2876}{28}=-\dfrac{719}{7}.$$

Центр лежит далеко под основанием $AD$ — трапеция очень вытянутая, угол $ABD$ тупой. Радиус:

$$R^2=56^2+\left(\dfrac{719}{7}\right)^2=\dfrac{153664+516961}{49}=\dfrac{670625}{49}=\dfrac{625\cdot1073}{49},\qquad R=\dfrac{25\sqrt{1073}}{7}.$$

Проверим по теореме синусов в треугольнике $ABD$: $\sin A=\dfrac{14}{50}=\dfrac{7}{25}$, $BD=\sqrt{(8+56)^2+14^2}=\sqrt{4292}=2\sqrt{1073}$, $R=\dfrac{2\sqrt{1073}}{2\cdot\frac{7}{25}}=\dfrac{25\sqrt{1073}}{7}$. Совпало.