Задание 18 ЕГЭ по математике №00043792

Четырёхугольник вписан в окружность, две его стороны равны. Равные хорды стягивают равные дуги — отсюда и параллельность, и вычисление.

Пункт а. Хорды $AB$ и $CD$ равны, значит, равны и дуги $AB$ и $CD$, не содержащие других вершин. Вписанный угол $ADB$ опирается на дугу $AB$, вписанный угол $CBD$ — на дугу $CD$. Поэтому $\angle ADB=\angle CBD$.

Эти углы образованы прямыми $AD$ и $BC$ с секущей $BD$ и лежат по разные стороны от неё — накрест лежащие. Значит, $AD\parallel BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Итак, $ABCD$ — трапеция с равными боковыми сторонами, равнобокая. Найдём углы через теорему синусов: хорда равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, опирающегося на неё.

$$\sin\angle BDC=\dfrac{BC}{2R}=\dfrac{7}{32},\qquad \sin\angle ADB=\dfrac{AB}{2R}=\dfrac{20}{32}=\dfrac58.$$

Оба угла острые. Дуги $AB$ и $CD$ равны и вместе не больше $360^\circ$, поэтому каждая меньше полуокружности. Дуга $BC$ тоже меньше полуокружности: иначе вместе с двумя равными дугами $AB$ и $CD$ (каждая около $77^\circ$) сумма превысила бы $360^\circ$. Вписанный угол, опирающийся на дугу меньше полуокружности, острый.

Обозначим $\alpha=\angle BDC$, $\beta=\angle ADB$. Тогда $\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{49}{1024}}=\dfrac{\sqrt{975}}{32}=\dfrac{5\sqrt{39}}{32}$, $\cos\beta=\sqrt{1-\dfrac{25}{64}}=\dfrac{\sqrt{39}}{8}$.

Угол $ADC$ трапеции равен $\alpha+\beta$:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{5\sqrt{39}}{32}\cdot\dfrac{\sqrt{39}}{8}-\dfrac{7}{32}\cdot\dfrac58=\dfrac{195-35}{256}=\dfrac58.$$

Косинус положителен, угол $D$ острый, значит, $AD$ — большее основание. В равнобокой трапеции большее основание равно меньшему плюс две проекции боковых сторон:

$$AD=BC+2\cdot CD\cdot\cos\angle ADC=7+2\cdot20\cdot\dfrac58=7+25=32.$$

Проверим: $AD=32=2R$ — сторона $AD$ оказалась диаметром. Тогда угол $ABD$ опирается на диаметр и должен быть прямым: $AB^2+BD^2=AD^2$. Диагональ $BD$ из трапеции: проекция на $AD$ равна $32-\dfrac{32-7}{2}=19{,}5$, высота $\sqrt{400-12{,}5^2}=\sqrt{243{,}75}$, $BD^2=380{,}25+243{,}75=624$, и $400+624=1024=32^2$. Совпало.