Задание 18 ЕГЭ по математике №00043794

Четырёхугольники $ABEF$ и $ECDF$ описаны около окружностей — для них работают равенства сумм противоположных сторон.

Пункт а. Для $ABEF$ и $ECDF$:

$$AB+EF=BE+AF,\qquad CD+EF=EC+FD.$$

$E$ и $F$ — середины оснований, поэтому $BE=EC$ и $AF=FD$, и правые части равны. Значит, $AB=CD$.

У трапеции с равными боковыми сторонами есть две возможности: она равнобедренная или её боковые стороны параллельны (тогда это параллелограмм с равными основаниями). Основания $BC$ и $AD$ разные, поэтому трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б. В равнобедренной трапеции отрезок $EF$, соединяющий середины оснований, — ось симметрии; он перпендикулярен основаниям и равен высоте $h$. Окружность, вписанная в $ABEF$, касается параллельных сторон $BE$ и $AF$, поэтому её диаметр равен расстоянию между ними: $h=2\cdot2{,}5=5$.

Из условия вписанности: $AB+EF=BE+AF$, то есть $BE+AF=7+5=12$. Разность $AF-BE$ — проекция боковой стороны на основание; из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB=7$ и катетом $h=5$:

$$AF-BE=\sqrt{49-25}=2\sqrt6.$$

Окружность, описанная около трапеции, описана и около треугольника $ABD$. Синус угла $A$: $\sin A=\dfrac{h}{AB}=\dfrac57$. Диагональ $BD$: по горизонтали от $B$ до $D$ расстояние $BE+FD=BE+AF=12$, по вертикали $5$:

$$BD=\sqrt{12^2+5^2}=13.$$

По теореме синусов в треугольнике $ABD$:

$$R=\dfrac{BD}{2\sin A}=\dfrac{13}{2\cdot\frac57}=\dfrac{91}{10}=9{,}1.$$

Проверим координатами: $F(0;0)$, $A(-6-\sqrt6;0)$, $B(-6+\sqrt6;5)$. Центр $(0;y)$: $(6+\sqrt6)^2+y^2=(6-\sqrt6)^2+(5-y)^2$, откуда $24\sqrt6=25-10y$, $y=\dfrac{25-24\sqrt6}{10}$. Тогда $R^2=42+12\sqrt6+\dfrac{4081-1200\sqrt6}{100}=82{,}81=9{,}1^2$. Совпало.