Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045658

Пусть $A=(-b;0)$, $C=(b;0)$, $B=(0;h)$, где $h\gt b\gt0$: последнее следует из остроты угла при $B$. Обозначим $s=b^2+h^2$ и $d=h^2-b^2\gt0$.

Высота из $C$ перпендикулярна $AB$, поэтому её пересечение с осью симметрии равно $H=(0;b^2/h)$. Основание этой высоты на $AB$ находится проекцией вектора $AC$ на $AB$: $K=(-bd/s;2b^2h/s)$. Точка $N$ симметрична $K$, поэтому $P=(0;2b^2h/s)$.

Углы $BKH$ и $BNH$ прямые, следовательно, $B,K,H,N$ лежат на окружности с диаметром $BH$. Поэтому центр окружности $KBN$ — середина $BH$: $O=(0;s/(2h))$.

Треугольник $AKH$ прямоугольный при $K$, а $KPO$ — при $P$. Их катеты выражаются так: $AK=2b^2/\sqrt s$, $KH=bd/(h\sqrt s)$, $KP=bd/s$, $PO=d^2/(2hs)$.

Первые два равенства следуют из проекции $AC$ на $AB$ и разности $CK-CH$: $CK=2bh/\sqrt s$, $CH=b\sqrt s/h$. Последние два — из найденных координат $K,P,O$.

Теперь $KH/AK=d/(2bh)=PO/KP$. У прямоугольных треугольников пропорциональны катеты, поэтому $\triangle AKH\sim\triangle KPO$ с соответствием $A\leftrightarrow K$, $K\leftrightarrow P$, $H\leftrightarrow O$.

В пункте б $b=8$, а $h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$. Радиус равен половине $BH$: $R=(h-b^2/h)/2=(15-64/15)/2=161/30$.

Проверка: $H$ лежит внутри треугольника, поскольку $0\lt64/15\lt15$; найденный диаметр $BH=161/15$ положителен. Точки $K$ и $N$ принадлежат этой окружности по теореме о прямом вписанном угле.