Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045659

Пусть $A=(-b;0)$, $C=(b;0)$, $B=(0;h)$, где $h\gt b\gt0$, поскольку треугольник остроугольный. Обозначим $s=b^2+h^2$, $d=h^2-b^2$.

Основания высот симметричны: $K=(-bd/s;2b^2h/s)$, $N=(bd/s;2b^2h/s)$. Эти координаты получаются ортогональной проекцией $C$ на $AB$ и $A$ на $BC$. Ортоцентр $H=(0;b^2/h)$, а $P=(0;2b^2h/s)$.

Углы $BKH$ и $BNH$ прямые, поэтому окружность через $K,B,N$ имеет диаметр $BH$. Её центр $O=(0;s/(2h))$.

Треугольники $CNH$ и $KPO$ прямоугольные при $N$ и $P$. Длины их катетов: $CN=2b^2/\sqrt s$, $NH=bd/(h\sqrt s)$; $KP=bd/s$, $PO=d^2/(2hs)$.

Для первых двух равенств используем проекцию $AC$ на $BC$ и разность $AN-AH$: $AN=2bh/\sqrt s$, $AH=b\sqrt s/h$. Последние два равенства непосредственно следуют из координат.

Получаем $NH/CN=d/(2bh)=PO/KP$. Значит, катеты пропорциональны, и треугольники подобны с соответствием $C\leftrightarrow K$, $N\leftrightarrow P$, $H\leftrightarrow O$.

В пункте б $b=5$, $h=\sqrt{13^2-5^2}=12$. Тогда $BH=12-25/12=119/12$, радиус $R=BH/2=119/24$.

Проверка: $H$ находится между основанием и вершиной $B$, а точки $K,N$ видят отрезок $BH$ под прямым углом. Поэтому выбранная окружность действительно проходит через все три нужные точки.