Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045653

Лучи из $D$ делят прямой угол на три угла по $30^\circ$. Поскольку $E$ лежит между $B$ и $C$, луч $DE$ образует с $DC$ угол $30^\circ$, а $DB$ — $60^\circ$.

Положим $D=(0;0)$, $C=(w;0)$, $B=(w;h)$, $A=(0;h)$. Из наклона $DB$ получаем $h=\sqrt3w$, а $E=(w;h/3)$. Диагонали прямоугольника делятся пополам, поэтому $O=(w/2;h/2)$.

Прямая $AE$ имеет уравнение $y=h-2hx/(3w)$, а $DB$ — $y=hx/w$. В их пересечении $hx/w=h-2hx/(3w)$, откуда $x=3w/5$, $y=3h/5$. Значит, $N=(3w/5;3h/5)$.

Разности координат $N$ и $O$ равны $w/10,h/10$. Поэтому $NO=\sqrt{w^2+h^2}/10=\sqrt{4w^2}/10=w/5=AB/5$, что и требовалось.

Пусть $M=DE\cap AC$. Уравнения этих прямых: $y=hx/(3w)$ и $y=h-hx/w$. Получаем $M=(3w/4;h/4)$. Прямая отсекает от четырёхугольника треугольник $ECM$.

У него основание $EC=h/3$, высота к этому основанию $w/4$, поэтому $S_{ECM}=wh/24$. Найдём площадь всего $ONEC$ как разность $AEC$ и $AON$.

Площадь $AEC$ равна $wh/6$. Треугольники $AON$ и $ABD$ имеют общую высоту к прямой $BD$, а $ON/BD=1/10$, поэтому $S_{AON}=(wh/2)/10=wh/20$. Значит, $S_{ONEC}=wh/6-wh/20=7wh/60$.

Оставшаяся площадь равна $7wh/60-wh/24=3wh/40$. Отношение частей $(wh/24):(3wh/40)=5:9$. Проверка: доли $5/14$ и $9/14$ складываются в целое.