ID: 00013634
Периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 36. Точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезок 𝐸𝐹 касается окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 9.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°.
Источник: ФИПИ
Периметр $ABC$ равен $36$; $E$, $F$ — середины $AB$, $BC$; средняя линия $EF$ касается вписанной окружности.
Пункт а. Средняя линия $EF\parallel AC$ и $EF=\dfrac{AC}{2}$. Прямые $AC$ и $EF$ — две параллельные касательные к вписанной окружности, расстояние между ними равно диаметру $2r$, и оно же равно половине высоты из $B$. Связав это с формулой площади $S=pr$ ($p$ — полупериметр), получаем $AC=\dfrac{P}{4}=\dfrac{36}{4}=9$. Доказано.
Пункт б. При $\angle ACB=90^\circ$: $AB+BC=36-9=27$, и $AB^2=AC^2+BC^2$. Из $(27-BC)^2=81+BC^2$: $729-54BC=81$, $BC=12$, $AB=15$. Площадь $S=\dfrac12\cdot AC\cdot BC=\dfrac12\cdot9\cdot12=54$.
54