ID: 00013634
Периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 36. Точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезок 𝐸𝐹 касается окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 9.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°.
Источник: ФИПИ
Периметр ABC равен 36; E, F — середины AB, BC; средняя линия EF касается вписанной окружности.
Пункт а. Средняя линия EF\parallel AC и EF=\dfrac{AC}{2}. Прямые AC и EF — две параллельные касательные к вписанной окружности, расстояние между ними равно диаметру 2r, и оно же равно половине высоты из B. Связав это с формулой площади S=pr (p — полупериметр), получаем AC=\dfrac{P}{4}=\dfrac{36}{4}=9. Доказано.
Пункт б. При \angle ACB=90^\circ: AB+BC=36-9=27, и AB^2=AC^2+BC^2. Из (27-BC)^2=81+BC^2: 729-54BC=81, BC=12, AB=15. Площадь S=\dfrac12\cdot AC\cdot BC=\dfrac12\cdot9\cdot12=54.
54