Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013633

Окружность с центром $O$ радиуса $R$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$, $B$; $BC$ — диаметр.

Пункт а. Касательные $NA=NB$, и $N$, $O$ лежат на биссектрисе угла $ANB$. Так как $BC$ — диаметр, $\angle BAC=90^\circ$. Из $OA\perp NA$ и равнобедренности $NAB$ следует, что $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$. Доказано.

Пункт б. Координаты с центром $O$ в начале: $A=(R\cos\varphi;R\sin\varphi)$, $B=(R\cos\varphi;-R\sin\varphi)$. Тогда $AB=2R\sin\varphi=24$ и $AC=2R\cos\varphi=10$ (так как $C=-B$), откуда $R\sin\varphi=12$, $R\cos\varphi=5$, $R=\sqrt{12^2+5^2}=13$.

Вершина $N$ — пересечение касательных, лежит на оси: $NO=\dfrac{R}{\cos\varphi}=\dfrac{R^2}{R\cos\varphi}=\dfrac{169}{5}=33{,}8$.