ID: 00013633
Окружность с центром в точке 𝑂 касается сторон угла с вершиной 𝑁 в точках 𝐴 и 𝐵. Отрезок 𝐵𝐶 – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐶 параллельна биссектрисе угла ∠𝐴𝑁𝐵.
б) Найдите длину отрезка 𝑁𝑂, если известно, что 𝐴𝐶 = 10 и 𝐴𝐵 = 24.
Источник: ФИПИ
Окружность с центром O радиуса R касается сторон угла с вершиной N в точках A, B; BC — диаметр.
Пункт а. Касательные NA=NB, и N, O лежат на биссектрисе угла ANB. Так как BC — диаметр, \angle BAC=90^\circ. Из OA\perp NA и равнобедренности NAB следует, что AC параллельна биссектрисе угла ANB. Доказано.
Пункт б. Координаты с центром O в начале: A=(R\cos\varphi;R\sin\varphi), B=(R\cos\varphi;-R\sin\varphi). Тогда AB=2R\sin\varphi=24 и AC=2R\cos\varphi=10 (так как C=-B), откуда R\sin\varphi=12, R\cos\varphi=5, R=\sqrt{12^2+5^2}=13.
Вершина N — пересечение касательных, лежит на оси: NO=\dfrac{R}{\cos\varphi}=\dfrac{R^2}{R\cos\varphi}=\dfrac{169}{5}=33{,}8.
33,8