Многоугольни… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00045650

У равнобедренной трапеции есть ось симметрии — прямая через середины оснований. Покажем сначала, что на ней находятся все три точки из пункта а.

Центр вписанной окружности лежит на внутренних биссектрисах углов при $A$ и $E$, потому что равноудалён от их сторон. Эти биссектрисы зеркально переходят друг в друга относительно оси трапеции; их единственная точка пересечения $O$ лежит на оси. Перпендикуляр $OP$ к основанию $AE$ совпадает с этой осью, значит, $P$ тоже на ней.

Из $B$ и $D$ проведено по две касательные к окружности. Уже известные касательные $BA$ и $DE$ симметричны. Поэтому симметричны и вторые касательные $BC$ и $DC$. Их точка пересечения $C$ лежит на той же оси. Пункт а доказан.

В пункте б высота трапеции находится по прямоугольному треугольнику. Половина разности оснований равна $(24-14)/2=5$, боковая сторона равна 13. Значит, высота $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12$.

Выберем $B=(-12;0)$, $D=(12;0)$, $A=(-7;12)$, $E=(7;12)$. Центр окружности имеет координаты $O=(0;12-r)$, поскольку расстояние от него до $AE$ равно радиусу $r$.

Прямая $AB$ задаётся уравнением $12x-5y+144=0$. Расстояние от $O$ до неё равно $r$, поэтому $(144-5(12-r))/13=r$. Получаем $84+5r=13r$, откуда $r=10{,}5$ и $O=(0;1{,}5)$.

Найдём вторую касательную из $B$. Запишем её как $y=q(x+12)$. Расстояние от $O$ до неё равно $10{,}5$, значит,

$$\frac{|12q-1{,}5|}{\sqrt{q^2+1}}=10{,}5.$$

После возведения в квадрат: $144q^2-36q+2{,}25=110{,}25q^2+110{,}25$. Делим разность на $2{,}25$: $15q^2-16q-48=0$. Дискриминант $256+2880=3136=56^2$, поэтому $q=(16\pm56)/30$: $q=12/5$ или $q=-4/3$.

Первое значение относится к известной стороне $BA$. Второе задаёт $BC$. На оси симметрии $x=0$ оно даёт $y_C=(-4/3)\cdot12=-16$.

Пятиугольник состоит из трапеции высотой 12 и треугольника $BCD$ высотой 16. Их площади: $(14+24)\cdot12/2=228$ и $24\cdot16/2=192$. Вместе $228+192=420$.

Проверим через вписанную окружность: $BC=CD=\sqrt{12^2+16^2}=20$, периметр $14+13+13+20+20=80$. Площадь равна половине произведения радиуса на периметр: $10{,}5\cdot80/2=420$.