Задание 2 ЕГЭ по математике №00048758

Сонаправленные векторы лежат на одной прямой (или на параллельных прямых) и смотрят в одну сторону. Значит, $\vec c$ получается из $\vec b$ растяжением с положительным множителем:

$$\vec c=k\vec b,\qquad k\gt 0.$$

Множитель $k$ найдём из длин. При растяжении вектора в $k$ раз его длина тоже умножается на $k$: $|\vec c|=k\,|\vec b|$. А по условию $|\vec c|=|\vec a|$.

Длина вектора — корень из суммы квадратов его координат:

$$|\vec a|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5,\qquad |\vec b|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5.$$

Отсюда

$$k=\dfrac{|\vec a|}{|\vec b|}=\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt5}=2.$$

Тогда $\vec c=2\vec b=(2\cdot2;\;2\cdot(-1))=(4;\,-2)$, то есть $x_c=4$, $y_c=-2$, и

$$x_c+y_c=4+(-2)=2.$$

Проверим себя. Длина: $|\vec c|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=|\vec a|$ — верно. Направление: координаты $(4;\,-2)$ получены из $(2;\,-1)$ умножением на положительное число $2$, значит, $\vec c$ смотрит туда же, куда $\vec b$. Вектор $(-4;\,2)$ той же длины тоже подходит по длине, но он направлен противоположно $\vec b$ — слово «сонаправленные» его отсекает.