Задание 2 ЕГЭ по математике №00048750

Здесь перемножают не сами $\vec a$ и $\vec b$, а два новых вектора. Поэтому сначала соберём их по координатам.

Первый вектор — разность покоординатно:

$$\vec a-\vec b=(2-1;\;1-(-3))=(1;\;4).$$

Для второго сначала $5\vec a=(10;\;5)$, затем вычитаем $\vec b$:

$$5\vec a-\vec b=(10-1;\;5-(-3))=(9;\;8).$$

Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат:

$$(\vec a-\vec b)\cdot(5\vec a-\vec b)=1\cdot9+4\cdot8=9+32=41.$$

Проверим, раскрыв скобки как в алгебре: $(\vec a-\vec b)\cdot(5\vec a-\vec b)=5\,\vec a\cdot\vec a-6\,\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec b$. Здесь $\vec a\cdot\vec a=4+1=5$, $\vec b\cdot\vec b=1+9=10$, $\vec a\cdot\vec b=2-3=-1$. Получаем $25+6+10=41$. Совпало.