Задание 2 ЕГЭ по математике №00048753

Перемножают два новых вектора, поэтому сначала соберём их по координатам.

$2\vec a=(4;\;2)$, и тогда

$$2\vec a+\vec b=(4+1;\;2+(-3))=(5;\;-1).$$

$5\vec a=(10;\;5)$, и тогда

$$5\vec a-\vec b=(10-1;\;5-(-3))=(9;\;8).$$

Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат:

$$(2\vec a+\vec b)\cdot(5\vec a-\vec b)=5\cdot9+(-1)\cdot8=45-8=37.$$

Проверим, раскрыв скобки как в алгебре: $(2\vec a+\vec b)\cdot(5\vec a-\vec b)=10\,\vec a\cdot\vec a-2\,\vec a\cdot\vec b+5\,\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=10\,\vec a\cdot\vec a+3\,\vec a\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec b$. Здесь $\vec a\cdot\vec a=4+1=5$, $\vec a\cdot\vec b=2-3=-1$, $\vec b\cdot\vec b=1+9=10$. Получаем $50-3-10=37$. Совпало.