Рациональные уравнения в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Рациональные уравнения на ЕГЭ профиль — те, где с неизвестным только складывают, вычитают, умножают, делят и возводят в натуральную степень; если x стоит в знаменателе, уравнение называют дробно-рациональным. Само по себе такое уравнение стоит в задании 7, а в задачах 10, 11 и 13 оно получается из условия.

Суть простыми словами

Дробно-рациональное уравнение решают за четыре хода: выписать запреты (знаменатели не равны нулю), умножить всё уравнение на общий знаменатель, решить уравнение без дробей, вычеркнуть корни, попавшие под запрет.

Пример 1. (x² − 4) / (x − 2) = 0. Дробь равна нулю, когда числитель ноль, а знаменатель нет. Числитель обнуляется при x = 2 и x = −2, но x = 2 обнуляет и знаменатель. Ответ: x = −2.

Пример 2. 6 / x = x + 1, запрет x ≠ 0. Умножаем на x: 6 = x² + x, x² + x − 6 = 0, корни 2 и −3. Запрет их не задевает. Проверка: 6 : 2 = 3 = 2 + 1 и 6 : (−3) = −2 = −3 + 1.

Почти всегда после умножения выходит квадратное уравнение: D = b² − 4ac, x = (−b ± √D) / (2a).

Где встречается на экзамене

Профиль 2027:

• Задание 7 ЕГЭ профиль — простейшее уравнение, среди типов есть дробное и квадратное. 1 балл. В 2026 году простейшие уравнения стояли шестым номером.
• Задание 10 ЕГЭ профиль, задание 11 и задание 13 — задача с формулой, текстовая и финансовая. Спецификация требует в них «составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи»; дробь с x в знаменателе появляется, например, когда время выражают как путь, делённый на скорость.

Базовый уровень: задание 17 ЕГЭ база — простейшие уравнения, в том числе рациональные; задание 20 ЕГЭ база — текстовые задачи с уравнением. По 1 баллу.

Где ошибаются

1. Не выписывают запреты. В первом примере x = 2 выглядит законным корнем, пока не посмотришь на знаменатель.
2. Делят на неизвестное. В x(x − 2) = 3x деление на x теряет корень 0. Надёжнее перенести всё влево: x² − 5x = 0, x = 0 или x = 5.
3. Умножают на знаменатель не всё уравнение. В x / (x − 1) + 2 = 3 / (x − 1) двойку тоже надо умножить на (x − 1): x + 2(x − 1) = 3, x = 5/3. Если её пропустить, выйдет x = 1, запрещённое значение, и ложный вывод «корней нет».
4. Сокращают дробь и забывают, откуда она взялась. (x² − 4) / (x − 2) = 4 после сокращения превращается в x + 2 = 4, и x = 2. Но x = 2 исходному уравнению запрещён, поэтому корней нет.

Шпаргалка за 30 секунд

Проверь себя. 1) 5 / (x − 1) = x + 3. 2) (x² − 1) / (x + 1) = 0. 3) 3 / x = 1 / (x − 2). Ответы: 1) x = 2 или x = −4; 2) x = 1 (x = −1 запрещён); 3) x = 3.

Квадратные уравнения, к которым всё сводится, наглядно собираются на тренажёре «Весы». Неравенства с той же дробью решаются иначе — смотри тему метод интервалов ЕГЭ профиль. Свою задачу из 10 или 11 номера можно принести на пробное занятие по математике.