Логарифмические неравенства в ЕГЭ по математике профиль — главный тип задания 16: 2 балла за полное решение. В проекте демоверсии 2027 у этого номера два варианта, логарифмический и показательный, а простые неравенства обоих видов есть и в базовом ЕГЭ, в задании 18.
Суть простыми словами
Логарифмическое неравенство решают в три шага: ОДЗ, переход к аргументам, ответ с учётом ОДЗ. Правило перехода зависит от основания a. Если a > 1, знак сохраняется: logₐ f > logₐ g равносильно f > g. Если 0 < a < 1, знак разворачивается: f < g.
Пример с основанием меньше 1: log₀,₅ x > 2. ОДЗ x > 0, знак разворачивается: x < 0,5² = 0,25. Ответ: 0 < x < 0,25.
Показательное неравенство решают так же через общее основание: 3ˣ⁻¹ < 27 даёт x − 1 < 3, то есть x < 4.
Метод рационализации заменяет сложное неравенство произведением: знак выражения logₐ f − logₐ g совпадает со знаком (a − 1)(f − g) при допустимых значениях. Это удобно, когда основание содержит x.
В демо-2027 под логарифмом стоит log₂ x, поэтому ОДЗ — не x > 0, а log₂ x > 0, то есть x > 1. После замены неравенство сводится к log₂ x ≤ 2, и с учётом ОДЗ ответ (1; 4].
Где встречается на экзамене
16 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- Неравенство повышенного уровня, 2 балла, развёрнутый ответ (в 2026 году — задание 15); в демо — неравенство с log₂(log₂ x) или показательное с заменой t = 8ˣ
18 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: простые неравенства и точки на прямой, например log₄ x > 0 и показательное с основанием 4
В кодификаторе ЕГЭ это элемент 2.7, он отмечен для базового и профильного уровней.
Где ошибаются
- Пишут ОДЗ только для внешнего логарифма. В демо под логарифмом стоит log₂ x, и нужно log₂ x > 0, то есть x > 1. С условием x > 0 в ответ попадает лишний кусок (0; 1].
- Не разворачивают знак при основании меньше 1. log₀,₅ x > 2 даёт x < 0,25, а не x > 0,25.
- Забывают, что основание с x даёт два случая. Если x стоит в основании, нужны a > 0 и a ≠ 1, а знак перехода зависит от того, больше a единицы или меньше. Рационализация (a − 1)(f − g) учитывает оба случая сразу.
- Теряют концевую точку. По критериям демо 1 балл из 2 ставят, если ответ отличается от верного только исключением точки 4, то есть (1; 4) вместо (1; 4]. Второй путь к 1 баллу — вычислительная ошибка при верной последовательности всех шагов.
Шпаргалка за 30 секунд
logₐ f > c, a > 1
- Приём
- f > aᶜ плюс ОДЗ
- Ловушка
- пропустить ОДЗ
logₐ f > c, 0 < a < 1
- Приём
- f < aᶜ, знак разворачивается
- Ловушка
- оставить знак
aᶠ > aᵍ
- Приём
- сравнить показатели, знак по основанию
- Ловушка
- не посмотреть на основание
основание с x
- Приём
- рационализация: знак logₐ f − logₐ g = знак (a − 1)(f − g)
- Ловушка
- потерять a ≠ 1
дробь из логарифмов
- Приём
- метод интервалов
- Ловушка
- домножить на неизвестный знак
Сначала убедись, что уверенно решаешь простые логарифмические уравнения из темы Логарифмические уравнения ЕГЭ профиль: неравенство отличается от них только знаком и ОДЗ. Метод интервалов, который нужен после рационализации, наглядно показывает тренажёр Квадратные неравенства: светофор, а оба варианта демо разобраны в 16 задание ЕГЭ профиль. Как записать решение, чтобы эксперт не снял балл, покажут на пробном занятии.