Треугольники в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Треугольники в ОГЭ по математике прячутся почти в каждой геометрической задаче: даже трапецию и окружность решают через треугольники внутри них. По спецификации геометрия занимает 5 заданий первой части (15–19) и 3 задания второй (23–25).

Суть простыми словами

Треугольник держится на четырёх опорах.

• Первая: сумма углов равна 180°, поэтому по двум углам всегда находится третий.
• Вторая: у равнобедренного треугольника равны углы при основании, а высота к основанию ещё и медиана, и биссектриса.
• Третья: если есть прямой угол, работает теорема Пифагора a² + b² = c², где c — самая длинная сторона.
• Четвёртая: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.

Как опоры работают вместе, видно на задании 23 из проекта демоверсии 2027. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции пересекаются в точке F, AF = 12, BF = 5. Углы при боковой стороне трапеции в сумме дают 180°, их половинки — 90°, значит, треугольник AFB прямоугольный. Дальше Пифагор: AB = √(144 + 25) = 13.

Где встречается на экзамене

Где ошибаются

1. Применяют Пифагора к углу, который «выглядит прямым». В задании 23 демо прямой угол при F не дан: его сначала доказывают через сумму углов при боковой стороне. В решении ФИПИ этот шаг записан явно; по критериям 2 балла ставят, когда все шаги хода решения выполнены правильно.
2. Останавливаются на половине угла. В задании 15 демо (биссектриса AK, ∠C = 25°, AK = CK) из равнобедренного треугольника AKC находят ∠KAC = 25°. Это только половина угла A: весь угол 50°, и тогда ∠B = 180° − 25° − 50° = 105°.
3. Путают вершины в подобии. Запиши соответствие явно: какая вершина какой отвечает. От этого зависит, какие стороны пропорциональны.
4. Верят «почти правде» в задании 19. В демо утверждение «тангенс любого острого угла меньше единицы» ложно: tg 60° = √3 ≈ 1,73. Одного контрпримера хватает, чтобы его отбросить; верным там оказывается признак подобия по углам.
5. Берут не ту гипотенузу. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда самая длинная: в тройке 5-12-13 это 13, а не 12.

Шпаргалка за 30 секунд

Потяни вершины на тренажёре Треугольник: углы, медиана, высота и посмотри, как вместе с углом меняются высота и медиана. Потом реши 15 задание ОГЭ математика и переходи к теме Четырёхугольники ОГЭ: там те же треугольники, только внутри трапеции. Доказательство из задания 24 пишут по-разному, и на пробном занятии можно показать преподавателю свой вариант.