Неравенства и системы неравенств в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Неравенства в ОГЭ по математике — это задание 13 в первой части и задание 20 во второй, а линейные неравенства по спецификации могут попасться и в задании 9. Решают их почти как уравнения, но ответ — не число, а промежуток, и знак разворачивается при делении на отрицательное.

Суть простыми словами

Линейное неравенство решается как уравнение. Пример: −2x + 3 > 11, откуда −2x > 8. Делим на −2 и разворачиваем знак: x < −4.

Система неравенств — это «и то, и другое»: подходит только общая часть решений. В задании 13 демо система x + 3 ≥ −2 и x + 1,1 ≥ 0 даёт x ≥ −5 и x ≥ −1,1. Общая часть — луч x ≥ −1,1.

Квадратное неравенство решают методом интервалов. Пример: x² − x − 6 ≤ 0. Раскладываем: (x − 3)(x + 2) ≤ 0. Нули −2 и 3 делят прямую на три части; знак «минус» — между ними. Ответ: [−2; 3].

Дробное неравенство решают так же, но нуль знаменателя в ответ не входит никогда. Пример: (x − 1)/(x + 2) ≥ 0. Нули: 1 (входит) и −2 (не входит). Ответ: (−∞; −2) ∪ [1; +∞). Строгий знак — точка выколота и скобка круглая, нестрогий — точка закрашена и скобка квадратная.

Проверка всегда одна: возьми число из полученного промежутка и подставь в исходное неравенство, потом возьми число вне промежутка и убедись, что оно не подходит. Проверка занимает полминуты и ловит ошибку в знаке или в границе.

Где встречается на экзамене

Где ошибаются

1. Не разворачивают знак. Из −2x > 8 получается x < −4. Если оставить знак, выйдет x > −4, то есть ровно противоположный ответ.
2. Берут не ту часть системы. В задании 13 демо из x ≥ −5 и x ≥ −1,1 подходит только x ≥ −1,1. Картинка с лучом от −5 — неверный вариант, хотя на ней тоже закрашен луч вправо.
3. Умножают на выражение неизвестного знака. Адиль, Telegram, 07.07.2026: «Частая ошибка: умножать обе части на (x + 1), чтобы „убрать“ дробь. Так делать нельзя, потому что знак (x+1) неизвестен». В задании 20 демо так ломается x ≤ 9/x: умножив на x, получают x² ≤ 9 и [−3; 3], а верный ответ (−∞; −3] ∪ (0; 3].
4. Включают нуль знаменателя. В нестрогом неравенстве нули числителя входят в ответ, а нуль знаменателя не входит никогда: в том же задании 20 точка 0 выколота.
5. Берут внешние промежутки вместо внутреннего. У x² − x − 6 ≤ 0 ветви параболы вверх, и ниже нуля она только между корнями: ответ [−2; 3], а не два луча.

Шпаргалка за 30 секунд

Проверка: подставь одно число из ответа и одно не из ответа в исходное неравенство.

Протащи «светофор» по прямой на тренажёре Квадратные неравенства: светофор: зелёный там, где неравенство верно. Затем реши 13 задание ОГЭ математика, а для дробных неравенств загляни в тему Алгебраические дроби ОГЭ. Запись решения задания 20 на 2 балла можно отработать на пробном занятии.