Алгебраические дроби в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Алгебраические дроби в ОГЭ по математике — это дроби с переменной в числителе и знаменателе. Они живут во второй части: в задании 20 (дробное неравенство), в задании 21 (текстовая задача) и в задании 22, где формулу функции перед построением графика часто приходится сокращать.

Суть простыми словами

Алгебраическая дробь работает по правилам обычной, но с оговоркой: знаменатель не равен нулю.

Сокращение: сначала разложи числитель и знаменатель на множители, потом сокращай одинаковые множители. Пример: (x² − 4)/(x² + 2x) = (x − 2)(x + 2)/(x(x + 2)) = (x − 2)/x при x ≠ 0 и x ≠ −2.

Сложение: приведи к общему знаменателю. 1/x + 1/(x + 1) = (x + 1 + x)/(x(x + 1)) = (2x + 1)/(x(x + 1)).

Деление: умножай на перевёрнутую дробь. (2x/5) : (x/10) = 2x/5 · 10/x = 4 при x ≠ 0.

Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, затем сокращение.

Складывать числители и знаменатели отдельно нельзя. А чтобы не взять в ответ лишний корень, сразу записывай, при каких значениях переменной знаменатель обращается в нуль.

Проверка результата: подставь в исходную дробь и в итоговое выражение одно и то же допустимое число, например 1; значения должны совпасть. В примере с сокращением при x = 1 обе части дают −1.

Где встречается на экзамене

В кодификаторе ОГЭ элемент 2.4 «Алгебраическая дробь» отнесён к 8 классу.

Где ошибаются

1. Сокращают слагаемые. В (x + 3)/(x + 5) ничего сокращать нельзя; сокращают только множители.
2. Забывают, что знаменатель не нуль. Корень, который обращает знаменатель в нуль, в ответ не идёт.
3. Теряют знак. (x − 3)/(3 − x) равно −1, а не 1: 3 − x = −(x − 3).
4. Забывают выколотую точку после сокращения. График y = (x² − 4)/(x − 2) — это прямая y = x + 2 без точки (2; 4). В задании 22 из-за такой точки теряют значение параметра.
5. Домножают неравенство на выражение с переменной. В x ≤ 9/x из задания 20 демо знак x неизвестен; всё переносят в одну часть, получают (x − 3)(x + 3)/x ≤ 0 и решают методом интервалов.

Шпаргалка за 30 секунд

Сократи три дроби из своего учебника и для каждой выпиши запрещённые значения x, потом реши x ≤ 9/x из 20 задание ОГЭ математика. Метод интервалов для дробных неравенств подробнее в теме Неравенства ОГЭ, а перенос слагаемых в уравнениях наглядно показывает тренажёр «Весы». А выколотые точки задания 22 — хороший вопрос для пробного занятия.