Многочлены в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Формулы сокращённого умножения на ОГЭ — три тождества для многочленов, которые экономят строчки: раскрыть квадрат, разложить разность квадратов, посчитать 101² − 99² в уме. Спецификация 2027 называет их прямо в заданиях 8 и 12, а во второй части они помогают в задании 20.

Суть простыми словами

Три формулы:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)

Многочлен — сумма одночленов вроде 3x² − 5x + 2. Формулы выше — короткий путь умножать многочлены и, если читать их справа налево, раскладывать на множители.

Пример 1: 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400. Без формулы пришлось бы возводить в квадрат.

Пример 2: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Серединка 6x — это удвоенное произведение x и 3.

Пример 3, с неравенством: x² − 4 < 0. Разность квадратов даёт (x − 2)(x + 2) < 0, корни ±2, между ними выражение отрицательно: x ∈ (−2; 2). Так решал эту «задачу дня» Адиль (пост от 27.07.2026).

В демоверсии 2027 тот же приём нужен в задании 20: x ≤ 9/x. Переносим и приводим к общему знаменателю: (x² − 9)/x ≤ 0, то есть (x − 3)(x + 3)/x ≤ 0. Метод интервалов даёт (−∞; −3] ∪ (0; 3].

Все три формулы выводятся из раскрытия скобок: (a + b)² — это (a + b)(a + b), и в сумме получаются два одинаковых произведения ab. Если формула вылетела из головы, её можно быстро восстановить.

Где встречается на экзамене

• Задание 8 ОГЭ — расчёты по формулам и преобразования выражений, в том числе с формулами разности квадратов и квадрата суммы и разности;
• Задание 12 ОГЭ — расчёт по готовой формуле, часто с преобразованием;
• Задание 20 ОГЭ — уравнение, неравенство или система второй части с полным решением, 2 балла; в демо 2027 без разности квадратов не обойтись.

Где ошибаются

1. (a + b)² = a² + b². Пропадает удвоенное произведение 2ab. Проверка: (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.
2. Знак перед b² в квадрате разности. В (a − b)² последнее слагаемое всегда плюс: a² − 2ab + b².
3. Путают a² − b² и (a − b)². Первое раскладывается на (a − b)(a + b), второе — это квадрат разности.
4. Минус перед скобкой. В −(x − 3)² сначала раскрой квадрат, потом поменяй все знаки: −(x² − 6x + 9) = −x² + 6x − 9, а не −x² − 6x + 9.

Шпаргалка за 30 секунд

Где разложение на множители даёт больше всего выигрыша — в сокращении дробей: это тема алгебраические дроби ОГЭ. Вычислительные задачи с формулами — на странице задания 12. Если формулы путаются в голове, на пробном занятии покажем, как восстановить любую из них простым раскрытием скобок.