Квадратные корни на ОГЭ нужны в четырёх местах: оценить корень на прямой (задание 7), упростить выражение (8), выразить величину из формулы (12) и довести до ответа решение во второй части (20). Сами правила короткие — их четыре, и почти каждая ошибка нарушает одно из них.
Суть простыми словами
Квадратный корень из числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √9 = 3, а не −3, и корень из отрицательного числа в этой программе не существует.
Свойства при a ≥ 0, b ≥ 0: √(ab) = √a · √b; √(a/b) = √a / √b (b > 0); (√a)² = a. И ещё одно, верное для любого a: √(a²) = |a|.
Пример 1. Вынести множитель: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Пример 2. Умножить: 3√2 · 2√2 = 3 · 2 · (√2)² = 6 · 2 = 12. Пример 3. Корень из дроби берут отдельно из числителя и знаменателя: √(49/4) = 7/2 = 3,5.
В справочных материалах ОГЭ есть таблица квадратов двузначных чисел — ею удобно пользоваться при разложении подкоренного числа.
Для прикидки полезно помнить √2 ≈ 1,41 и √3 ≈ 1,73: тогда 6√2 ≈ 8,5 и сразу видно, между какими целыми лежит число.
Где встречается на экзамене
- Задание 7 ОГЭ — какой точке на прямой соответствует корень: зажми его между соседними точными квадратами;
- Задание 8 ОГЭ — значение выражения, где корни перемножают, делят и выносят множитель;
- Задание 12 ОГЭ — расчёт по формуле. В демо 2027 по P = I²R ищут R, но если бы спрашивали силу тока, понадобился бы корень: I = √(P/R) = √(361,25 : 5) = √72,25 = 8,5;
- Задание 20 ОГЭ — вторая часть: корни появляются в преобразованиях и в ответах квадратных уравнений, когда дискриминант не точный квадрат.
У всех четырёх номеров в кодах содержания есть раздел «Числа и вычисления» или «Алгебраические выражения», куда входят действительные числа и арифметический корень.
Где ошибаются
- √(a + b) = √a + √b. Так нельзя: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.
- √(a²) = a для любого a. Верно √(a²) = |a|, например √((−5)²) = 5.
- Корень из отрицательного. Адиль: «Под корнем чётной степени не может стоять отрицательное число», поэтому у √(x − 3) область определения x ≥ 3 (пост от 16.07.2026).
- Выносят множитель не до конца. √200 = 2√50 — ещё не ответ: 50 = 25 · 2, поэтому √200 = 10√2. Ищи сразу наибольший квадрат-делитель: 200 = 100 · 2.
Шпаргалка за 30 секунд
Как упростить √n: найди наибольший квадрат, на который делится n, и вынеси его.
√50
- Разложение
- √(25 · 2)
- Результат
- 5√2
√48
- Разложение
- √(16 · 3)
- Результат
- 4√3
√72
- Разложение
- √(36 · 2)
- Результат
- 6√2
Мини-проверка. 1) √(3² + 4²) = ? 2) При каких x имеет смысл √(x − 3)? 3) Что больше: √50 или 7? Ответы: 1) 5; 2) при x ≥ 3; 3) √50, потому что 50 > 49.
Корень — это степень ½, поэтому следующая по смыслу тема — свойства степеней ОГЭ. Выражения с корнями для тренировки — среди задач задания 8. Если хочется проверить, всё ли ты делаешь верно, запишись на пробное занятие.