Свойства степеней в ОГЭ по математике нужны, чтобы не считать большие числа напрямую: правила произведения, частного и степени в степени позволяют сократить дробь за секунды. Чаще всего они встречаются в задании 8 и в формулах задания 12.
Суть простыми словами
Пять правил, на которых держится тема. При умножении степеней с одним основанием показатели складывают: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При делении вычитают: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Степень в степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Нулевая степень равна 1, а отрицательная показывает дробь: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Примеры. 2⁵·2³/2⁶ = 2⁵⁺³⁻⁶ = 2² = 4. Число 3⁻² равно 1/9. Выражение (2·5)³ равно 2³·5³ = 8·125 = 1000.
С корнями: √a·√b = √(ab), (√a)² = a, но √(a²) = |a|. Степень с рациональным показателем связана с корнем: a^(1/2) = √a, а 8^(2/3) = (∛8)² = 4.
Главный приём: раскладывай числа на простые множители, чтобы получить одинаковые основания, и только потом применяй правила.
Так решается задание 8 из проекта демоверсии 2027: 7⁸·10⁶/70⁶. Число 70 раскладываем как 7·10, тогда 70⁶ = 7⁶·10⁶. Множитель 10⁶ сокращается, от семёрок остаётся 7⁸⁻⁶ = 7² = 49. Калькулятора на экзамене нет, а здесь он и не нужен.
Где встречается на экзамене
8 задание ОГЭ математика
- Что там про степени
- Значение выражения со степенями, корнями и формулами сокращённого умножения; в демо — дробь 7⁸·10⁶/70⁶
12 задание ОГЭ математика
- Что там про степени
- Расчёт по формуле со степенью; в демо — мощность тока P = I²R, где сила тока стоит в квадрате
В кодификаторе ОГЭ это элемент 2.2 «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени», его проходят в 7–9 классах.
Где ошибаются
- Складывают показатели при возведении в степень. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, показатели перемножают.
- Путают −3² и (−3)². Первое равно −9, второе равно 9: скобки меняют результат.
- Считают отрицательную степень отрицательным числом. 3⁻² = 1/9, число положительное.
- Складывают показатели при разных основаниях. 2³·3³ нельзя записать как 6⁶; верно (2·3)³ = 216.
- Пишут (a + b)² = a² + b². Верно a² + 2ab + b²; формулы сокращённого умножения лежат в справочных материалах.
Шпаргалка за 30 секунд
Умножение
- Формула
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- Ловушка
- основания разные
Деление
- Формула
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- Ловушка
- вычесть в обратном порядке
Степень степени
- Формула
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- Ловушка
- сложить показатели
Отрицательный показатель
- Формула
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- Ловушка
- получить отрицательное число
Корень из квадрата
- Формула
- √(a²) = |a|
- Ловушка
- потерять модуль
Возьми из 8 задание ОГЭ математика три дроби со степенями и для каждой сначала разложи основания на простые множители, а уже потом сокращай. Корни вида √(a²) = |a| подробно разобраны в теме Квадратный корень ОГЭ, а подстановку в формулу закрепит 12 задание ОГЭ математика. Если путаешь −3² и (−3)², разбери это с преподавателем на пробном занятии.