Задание 20 ОГЭ по физике №00046932

Дано:

$h = 0{,}5$ м

Найти:

$R$ — ?

Шайба маленькая, считаем её материальной точкой. Чтобы в верхней точке не было отрыва, необходимо, чтобы в верхней точке (и только в ней) выполнялось условие $N \geq 0$. В таком случае тело сможет совершить полный оборот

Сила реакции опоры направлена перпендикулярно плоскости соприкосновения, то есть по радиусу к центру окружности. Сила тяжести также направлена вертикально вниз. Поскольку тело движется по окружности, центростремительное ускорение направлено к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона для точки $A$:

$m\vec a = m\vec g + \vec N$

В проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$ma = mg + N$

Откуда сила реакции опоры равна:

$N = m(a - g)$

Здесь $a = \dfrac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение, а $v$ — скорость в точке $A$.

Запишем закон сохранения механической энергии, чтобы связать моменты, когда шайба находится на высоте $h$ и в точке $A$. В процессе спуска потенциальная энергия переходит в кинетическую. Начальная кинетическая энергия равна 0, поскольку тело движется из состояния покоя. Потенциальная энергия в исходном положении равна $mgh$. В точке $A$ полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергии тела: кинетическая энергия в точке $A$ равна $\dfrac{mv^2}{2}$, а потенциальная равна $2mgR$, поскольку тело находится над поверхностью Земли на уровне $2R$. Запишем закон сохранения механической энергии (трением пренебрегаем):

$mgh = 2mgR + \dfrac{mv^2}{2}$

Домножим на 2 и поделим на массу тела:

$2gh = 4gR + v^2$

Откуда квадрат скорости равен:

$v^2 = 2gh - 4gR$

Тогда центростремительное ускорение равно:

$a = \dfrac{2gh - 4gR}{R}$

Подставим центростремительное ускорение в формулу для $N$:

$N = m\left(\dfrac{2gh - 4gR}{R} - g\right) = \dfrac{m(2gh - 5gR)}{R}$

Поскольку нас интересует условие $N \geq 0$, получаем:

$\dfrac{m(2gh - 5gR)}{R} \geq 0$

Поскольку масса и радиус отличны от нуля, от них можно избавиться. В результате получаем:

$2gh - 5gR \geq 0$

$2gh \geq 5gR$

Тогда высота $h$, при которой выполняется условие, должна удовлетворять неравенству:

$h \geq \dfrac{5R}{2}$

Нам нужна минимальная высота, поэтому:

$h = \dfrac{5R}{2}$

Выразим отсюда радиус:

$R = \dfrac{2h}{5}$

Считаем:

$R = \dfrac{2 \cdot 0{,}5}{5} = 0{,}2$ м