ID: 00040475
Источник: ФИПИ
Шарик не просто роняют — его швыряют вниз, добавляя ему энергии сверх той, что даёт высота. Поэтому он и умудряется отскочить втрое выше точки броска, хотя при ударе теряет половину энергии. Наша задача — подобрать такую высоту, чтобы эта арифметика сошлась.
Что дано. Начальная скорость $v_0=20$ м/с (направлена вниз), при ударе теряется $50\,\%$ механической энергии — значит, остаётся доля $0{,}5$. Высота подъёма после отскока $H=3h$. Найти $h$. Берём $g=10\ \text{м/с}^2$.
Шаг 1. Энергия в начале. У шарика есть и высота, и скорость, поэтому полная механическая энергия складывается из двух частей — потенциальной и кинетической:
$$E_1=mgh+\frac{mv_0^2}{2}$$
Воздух не мешает, значит до самого пола эта энергия сохраняется без изменений.
Шаг 2. Что осталось после удара. Половина энергии съедена ударом:
$$E_2=0{,}5\,E_1$$
Шаг 3. Энергия в верхней точке отскока. Там шарик на мгновение замирает, поэтому кинетической энергии нет, вся энергия — потенциальная:
$$E_2=mgH=mg\cdot3h=3mgh$$
Шаг 4. Составляем уравнение.
$$0{,}5\left(mgh+\frac{mv_0^2}{2}\right)=3mgh$$
Масса входит в каждое слагаемое — сокращаем её (ответ от массы шарика не зависит). Делим обе части на $0{,}5$, то есть умножаем на $2$:
$$gh+\frac{v_0^2}{2}=6gh\quad\Rightarrow\quad \frac{v_0^2}{2}=5gh\quad\Rightarrow\quad h=\frac{v_0^2}{10g}$$
Шаг 5. Считаем.
$$h=\frac{20^2}{10\cdot10}=\frac{400}{100}=4\ \text{м}$$
Проверим ответ обратным ходом. С высоты $4$ м и со скоростью $20$ м/с полная энергия на килограмм равна $10\cdot4+\dfrac{400}{2}=40+200=240$ Дж. После удара остаётся $120$ Дж, а это соответствует подъёму на $\dfrac{120}{10}=12$ м — ровно втрое больше исходных четырёх метров. Сходится.