Решение
Дано:
$v_0 = 20 \text{ м/с}, \quad H = 3h, \quad \eta = 50\% = 0{,}5, \quad g = 10 \text{ м/с}^2$
Найти:
$h$ — ?
⠀
Решение:
Полная механическая энергия в верхней точке броска (высота $h$, скорость $v_0$ вниз):
$$E_1 = mgh + \dfrac{m v_0^2}{2}$$
При ударе о Землю теряется $50\%$ энергии, значит после удара остаётся $50\%$:
$$E_2 = 0{,}5 \cdot E_1$$
После отскока шарик поднимается до высоты $H = 3h$ и в верхней точке имеет только потенциальную энергию:
$$E_2 = m g \cdot 3h = 3 mgh$$
Приравниваем:
$$3 mgh = 0{,}5 \left( mgh + \dfrac{m v_0^2}{2} \right)$$
Сокращаем массу и раскрываем скобки:
$$3 gh = 0{,}5 gh + 0{,}25 v_0^2$$
$$2{,}5 gh = 0{,}25 v_0^2$$
$$h = \dfrac{0{,}25 \cdot v_0^2}{2{,}5 \cdot g} = \dfrac{v_0^2}{10 g}$$
Подставляем числа:
$$h = \dfrac{20^2}{10 \cdot 10} = \dfrac{400}{100} = 4 \text{ м}$$