Решение
Дано:
$h = 2{,}5\text{ м}$; $v_0 = 10\text{ м/с}$; после удара шарик поднялся на $h' = 1{,}5h$.
Найти:
$\Delta E / E_1$
⠀
Решение:
За нулевой уровень потенциальной энергии принимается поверхность Земли.
Полная механическая энергия до удара (точка 1):
$$E_1 = mgh + \frac{mv_0^2}{2}$$
После удара шарик поднимается на $h' = 1{,}5h$ и останавливается (скорость в высшей точке = 0):
$$E_2 = mg \cdot 1{,}5h$$
Доля потерянной энергии:
$$\frac{\Delta E}{E_1} = \frac{E_1 - E_2}{E_1} = 1 - \frac{1{,}5mgh}{mgh + \tfrac{1}{2}mv_0^2} = 1 - \frac{1{,}5gh}{gh + \tfrac{v_0^2}{2}}$$
Подставляем числа ($g = 10\text{ м/с}^2$):
$$gh = 10 \cdot 2{,}5 = 25\text{ Дж/кг},\quad \frac{v_0^2}{2} = \frac{100}{2} = 50\text{ Дж/кг}$$
$$\frac{\Delta E}{E_1} = 1 - \frac{1{,}5 \cdot 25}{25 + 50} = 1 - \frac{37{,}5}{75} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$