ID: 00007065
При работе электроплитки используются две спирали. Если в сеть включена первая спираль, то вода в кофейнике закипает через 2 мин, если обе спирали включены последовательно, то через 3 мин. Через какое время закипит вода в кофейнике, если включена только вторая спираль? Начальные температуры и массы воды одинаковы.
Источник: ФИПИ
$t_1 = 2 \text{ мин}$ — время закипания при включённой только спирали $R_1$
$t_{\text{общ}} = 3 \text{ мин}$ — время закипания при последовательном включении $R_1$ и $R_2$
Напряжение сети $U = \text{const}$
$t_2$ — время закипания при включённой только спирали $R_2$.
Во всех трёх случаях воде передаётся одинаковое количество теплоты $Q$ (вода одна и та же). Тепловые потери отсутствуют, поэтому:
$$Q = P \cdot t$$
Мощность в каждом случае:
$$P_1 = \frac{U^2}{R_1}, \quad P_2 = \frac{U^2}{R_2}, \quad P_{\text{общ}} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}$$
Из условия $Q = P_1 t_1 = P_{\text{общ}} \cdot t_{\text{общ}}$:
$$\frac{U^2}{R_1} \cdot t_1 = \frac{U^2}{R_1 + R_2} \cdot t_{\text{общ}}$$
Сокращаем $U^2$:
$$\frac{t_1}{R_1} = \frac{t_{\text{общ}}}{R_1 + R_2}$$
Выражаем $R_2$:
$$R_2 = R_1 \left(\frac{t_{\text{общ}}}{t_1} - 1\right) = R_1 \cdot \frac{t_{\text{общ}} - t_1}{t_1}$$
Из условия $Q = P_1 t_1 = P_2 t_2$:
$$\frac{t_1}{R_1} = \frac{t_2}{R_2}$$
$$t_2 = t_1 \cdot \frac{R_2}{R_1} = t_1 \cdot \frac{t_{\text{общ}} - t_1}{t_1} = t_{\text{общ}} - t_1$$
$$t_2 = 3 - 2 = 1 \text{ мин}$$
$t_2 = 1$ мин