Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00051919

Дано:

$\eta = 20$ % $= 0{,}2$

Газ идеальный одноатомный.

1–2 — изобарное нагревание.

2–3 — изохорное охлаждение.

3–1 — адиабатное сжатие.

Найти:

$\dfrac{|Q_{23}|}{|A_{31}|}$ — ?

Обоснование.

В процессе 1–2 газ нагревается и расширяется, получая теплоту:

$Q_{12} > 0$.

В процессе 2–3 газ охлаждается при постоянном объёме и отдаёт теплоту:

$Q_{23} < 0$.

В адиабатном процессе теплообмена нет:

$Q_{31} = 0$.

Следовательно, теплота подводится только на участке 1–2 и отводится только на участке 2–3.

За полный цикл газ возвращается в исходное состояние, поэтому:

$\Delta U_{ц} = 0$.

Найдём модуль отведённой теплоты.

Обозначим работу газа за цикл через $A_{ц}$. По первому началу термодинамики:

$A_{ц} = Q_{12} + Q_{23} = Q_{12} - |Q_{23}|$.

По определению КПД:

$\eta = \dfrac{A_{ц}}{Q_{12}}$.

Отсюда:

$A_{ц} = \eta Q_{12}$.

Следовательно:

$Q_{12} - |Q_{23}| = \eta Q_{12}$;

$|Q_{23}| = (1 - \eta)Q_{12}$.

Найдём работу газа на участке 1–2.

При изобарном расширении:

$A_{12} = p(V_2 - V_1)$.

Из уравнения Менделеева — Клапейрона при постоянном давлении:

$A_{12} = \nu R(T_2 - T_1)$,

где $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа:

$\Delta U_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1)$.

По первому началу термодинамики:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$.

Поэтому:

$Q_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) + \nu R(T_2 - T_1) = \dfrac{5}{2}\nu R(T_2 - T_1)$.

Сравнивая выражения для работы и теплоты, получаем:

$A_{12} = \dfrac{2}{5}Q_{12}$.

Найдём модуль работы при сжатии.

Обозначим положительную работу, совершённую над газом при сжатии, через:

$A_{сж} = |A_{31}|$.

Работа самого газа на этом участке равна $-A_{сж}$.

В изохорном процессе 2–3 объём постоянен, поэтому:

$A_{23} = 0$.

Работа газа за цикл:

$A_{ц} = A_{12} - A_{сж}$.

Отсюда:

$A_{сж} = A_{12} - A_{ц}$.

Подставим полученные выражения:

$|A_{31}| = \dfrac{2}{5}Q_{12} - \eta Q_{12} = \left(\dfrac{2}{5} - \eta\right)Q_{12}$.

Искомое отношение:

$\dfrac{|Q_{23}|}{|A_{31}|} = \dfrac{(1 - \eta)Q_{12}}{\left(\dfrac{2}{5} - \eta\right)Q_{12}} = \dfrac{1 - \eta}{\dfrac{2}{5} - \eta}$.

Подставим КПД в долях единицы:

$\dfrac{|Q_{23}|}{|A_{31}|} = \dfrac{1 - 0{,}2}{0{,}4 - 0{,}2} = \dfrac{0{,}8}{0{,}2} = 4$.