Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048282

Что здесь происходит. Газ в двигателе проходит ступенчатый цикл из изохор и изобар. За $10^5$ циклов сгорело $4$ кг угля, и газ получил треть выделившейся теплоты. Зная это, найдём теплоту, получаемую газом за один цикл, а по ней — масштаб $p_0V_0$ и температуру в самой «горячей» точке 3.

Дано: $\nu=0{,}05$ моль, $q=29{,}3$ МДж/кг $=2{,}93\cdot10^7$ Дж/кг, $\eta=\dfrac{1}{3}$, $N=10^5$, $M=4$ кг. Найти: $T_3$.

Шаг 1 — состояния по диаграмме. Координаты: 1 $(V_0;2p_0)$, 2 $(V_0;3p_0)$, 3 $(3V_0;3p_0)$, 4 $(3V_0;p_0)$, 5 $(2V_0;p_0)$, 6 $(2V_0;2p_0)$. Произведения $pV$ в единицах $p_0V_0$: $2;\ 3;\ 9;\ 3;\ 2;\ 4$. Наибольшее — в точке 3, и по уравнению Менделеева — Клапейрона $\nu RT_3=9p_0V_0$.

Шаг 2 — теплота, полученная за цикл. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}pV$; на изохоре $Q=\dfrac{3}{2}\Delta(pV)$, на изобаре $Q=\dfrac{5}{2}\Delta(pV)$ (добавляется работа $p\Delta V$). Газ получает теплоту там, где $pV$ растёт:

1→2 (изохора, $2\to3$): $Q_{12}=\dfrac{3}{2}\cdot1=1{,}5\,p_0V_0$;

2→3 (изобара, $3\to9$): $Q_{23}=\dfrac{5}{2}\cdot6=15\,p_0V_0$;

5→6 (изохора, $2\to4$): $Q_{56}=\dfrac{3}{2}\cdot2=3\,p_0V_0$.

На 3→4, 4→5 и 6→1 произведение $pV$ убывает — там газ теплоту отдаёт. Итого $Q_{\text{н}}=1{,}5+15+3=19{,}5\,p_0V_0=\dfrac{39}{2}p_0V_0$.

Шаг 3 — баланс энергии с углём. За $N$ циклов газ получает $NQ_{\text{н}}$, а это доля $\eta$ теплоты сгорания $qM$:

$$\eta qM=N\cdot\dfrac{39}{2}p_0V_0\quad\Rightarrow\quad p_0V_0=\dfrac{2\eta qM}{39N}=\dfrac{2\cdot\frac{1}{3}\cdot2{,}93\cdot10^7\cdot4}{39\cdot10^5}\approx20{,}0\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — температура в точке 3:

$$T_3=\dfrac{9p_0V_0}{\nu R}=\dfrac{6\eta qM}{13\nu RN}=\dfrac{6qM}{39\nu RN}=\dfrac{6\cdot2{,}93\cdot10^7\cdot4}{39\cdot0{,}05\cdot8{,}31\cdot10^5}=\dfrac{7{,}032\cdot10^8}{1{,}620\cdot10^6}\approx434\ \text{К}.$$

Проверим себя. Отданная за цикл теплота: 3→4 $\dfrac{3}{2}\cdot6=9$, 4→5 $\dfrac{5}{2}\cdot1=2{,}5$, 6→1 $\dfrac{5}{2}\cdot2=5$ — всего $16{,}5\,p_0V_0$. Разность $19{,}5-16{,}5=3\,p_0V_0$ равна площади фигуры цикла ($1+2=3$ клетки) — подсчёт теплот верен. Размерность: $\dfrac{qM}{\nu RN}$ — это $\dfrac{\text{Дж}}{\text{Дж/К}}=\text{К}$.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно, процессы равновесные — к каждой точке применимо уравнение Менделеева — Клапейрона, внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}pV$, работа равна площади под графиком. Уголь сгорает полностью, газ получает долю $\eta$ выделившейся теплоты, и все циклы одинаковы.