Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048289

Что здесь происходит. Газ проходит цикл из трёх участков: изобарное расширение 1–2 (на рисунке — горизонтальный отрезок), адиабатное расширение 2–3 (крутая кривая) и изотермическое сжатие 3–1 (более пологая кривая). Нужно найти КПД цикла по работе на изобаре и теплоте, отданной на изотерме.

Шаг 1 — откуда берётся отданная теплота. На изотерме 3–1 температура постоянна, поэтому внутренняя энергия газа не меняется. Но газ сжимают — внешние силы совершают над ним работу. По первому закону термодинамики эта энергия целиком уходит из газа в виде теплоты: газ отдаёт холодильнику $Q_{-}=1000$ Дж.

Шаг 2 — где газ получает теплоту. На адиабате 2–3 теплообмена нет. Остаётся изобара 1–2: объём растёт при постоянном давлении, температура повышается, газ получает теплоту. Работа газа на изобаре $A_{12}=p\Delta V=\nu R\Delta T$, а прирост внутренней энергии одноатомного газа $\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T=\dfrac{3}{2}A_{12}$. Тогда

$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\dfrac{5}{2}A_{12}=\dfrac{5}{2}\cdot500=1250\ \text{Дж}.$$

То есть работа на изобаре составляет $\dfrac{2}{5}$ полученной там теплоты, остальные $\dfrac{3}{5}$ идут на нагрев газа.

Шаг 3 — КПД. За цикл газ возвращается в исходное состояние, поэтому работа за цикл равна разности полученной и отданной теплоты:

$$\eta=\dfrac{Q_{12}-Q_{-}}{Q_{12}}=\dfrac{1250-1000}{1250}=\dfrac{250}{1250}=0{,}2=20\%.$$

Количество вещества и температуры не понадобились: всё выразилось через данную работу.

Проверим себя. Отданная теплота $1000$ Дж больше работы на изобаре $500$ Дж, но меньше полученной теплоты $1250$ Дж — работа за цикл $250$ Дж положительна, двигатель работает. Сложим работы участков: $A_{12}=500$ Дж; на адиабате газ совершает работу за счёт внутренней энергии, и раз $T_3=T_1$, она равна приросту энергии на изобаре, $750$ Дж; на изотерме $A_{31}=-1000$ Дж. Сумма $500+750-1000=250$ Дж — сходится.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно, процессы равновесные; внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ зависит только от температуры; на адиабате теплообмена нет; за цикл изменение внутренней энергии равно нулю.