Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048288

Что здесь происходит. Газ работает по циклу из двух изохор и двух адиабат: 1→2 — изохорное охлаждение, 2→3 — адиабатное сжатие, 3→4 — изохорное нагревание, 4→1 — адиабатное расширение. Известны КПД и температура в состоянии 3, нужно найти температуру в состоянии 1.

Шаг 1 — что известно сразу. На изохоре давление пропорционально абсолютной температуре. На 3→4 давление выросло в $1{,}5$ раза, значит,

$$T_4=1{,}5\,T_3=1{,}5\cdot800=1200\ \text{К}.$$

Неизвестную $T_1$ обозначим буквой. На 1→2 давление упало в $1{,}5$ раза, поэтому $T_2=\dfrac{T_1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}T_1$.

Шаг 2 — теплоты. На адиабатах теплообмена нет. На изохорах работа равна нулю, и по первому закону термодинамики $Q=\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$. Газ нагревается на 3→4 (получает теплоту) и остывает на 1→2 (отдаёт):

$$Q_{\text{н}}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_4-T_3)=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot\dfrac{T_3}{2},\qquad |Q_{\text{х}}|=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_1-T_2)=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot\dfrac{T_1}{3}.$$

Шаг 3 — уравнение для КПД. Множитель $\dfrac{3}{2}\nu R$ одинаков в обеих теплотах и сокращается:

$$\eta=1-\dfrac{|Q_{\text{х}}|}{Q_{\text{н}}}=1-\dfrac{T_1/3}{T_3/2}=1-\dfrac{2T_1}{3T_3}\quad\Rightarrow\quad T_1=\dfrac{3}{2}\,T_3\,(1-\eta).$$

Шаг 4 — считаем, КПД в долях: $\eta=0{,}45$.

$$T_1=1{,}5\cdot800\cdot(1-0{,}45)=1200\cdot0{,}55=660\ \text{К}.$$

Проверим себя. $T_2=\dfrac{2}{3}\cdot660=440$ К. Тогда $|Q_{\text{х}}|\propto660-440=220$, $Q_{\text{н}}\propto1200-800=400$, и $\eta=1-\dfrac{220}{400}=0{,}45$ — сходится. $T_1=660$ К меньше $T_4=1200$ К, как и должно быть: на адиабате 4→1 газ расширяется и остывает. Отношения на адиабатах тоже совпадают: $\dfrac{T_3}{T_2}=\dfrac{800}{440}\approx1{,}82$ и $\dfrac{T_4}{T_1}=\dfrac{1200}{660}\approx1{,}82$.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно, процессы равновесные: на изохорах $\dfrac{p}{T}=\text{const}$, на адиабатах теплообмена нет, внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ зависит только от температуры.