Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048290

Что здесь происходит. Гелий проходит треугольный цикл 1→2→3→1. Известно, сколько теплоты он получает от нагревателя за цикл. Нужно найти температуру в вершине 2. Удобно вести весь счёт прямо в «единицах» $\nu RT_2$.

Дано: $\nu=5$ моль, $Q_{\text{нагр}}=240$ кДж $=2{,}4\cdot10^5$ Дж. Найти: $T_2$.

Шаг 1 — вершины цикла. По клеткам диаграммы: 1 $(V_0;p_0)$, 2 $(V_0;2p_0)$, 3 $(4V_0;3p_0)$. Произведения $pV$: $p_0V_0$, $2p_0V_0$, $12p_0V_0$. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$, поэтому в вершине 2 $\nu RT_2=2p_0V_0$, то есть $p_0V_0=\dfrac{\nu RT_2}{2}$; в вершине 1 температура вдвое ниже $T_2$, в вершине 3 — в $6$ раз выше.

Шаг 2 — где газ получает теплоту. Гелий одноатомный, $U=\dfrac{3}{2}pV$.

1→2 — изохора, работы нет, $pV$ растёт:

$$Q_{12}=\dfrac{3}{2}(2p_0V_0-p_0V_0)=1{,}5\,p_0V_0.$$

2→3 — газ расширяется и нагревается. Работа — площадь трапеции под отрезком 2–3:

$$A_{23}=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}\cdot3V_0=7{,}5\,p_0V_0,\qquad \Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}(12-2)p_0V_0=15\,p_0V_0,$$

$$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=22{,}5\,p_0V_0.$$

На всём отрезке 2–3 и давление, и объём растут, поэтому теплота поступает на всём участке. На 3→1 газ сжимается и остывает — там теплота уходит холодильнику и в $Q_{\text{нагр}}$ не входит.

Шаг 3 — теплота от нагревателя:

$$Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=24\,p_0V_0=24\cdot\dfrac{\nu RT_2}{2}=12\,\nu RT_2.$$

Шаг 4 — температура:

$$T_2=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{12\nu R}=\dfrac{2{,}4\cdot10^5}{12\cdot5\cdot8{,}31}=\dfrac{240\,000}{498{,}6}\approx481\ \text{К}.$$

Проверим себя. Работа за цикл — площадь треугольника: $\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot3=1{,}5$ клетки $p_0V_0$, КПД $\dfrac{1{,}5}{24}\approx6\%$ — меньше КПД цикла Карно для крайних температур цикла $1-\dfrac{T_1}{T_3}=1-\dfrac{1}{12}\approx92\%$, противоречия нет. Обратно: $p_0V_0=\dfrac{5\cdot8{,}31\cdot481}{2}\approx9990$ Дж, $24\cdot9990\approx240$ кДж.

Почему модель законна. Разреженный гелий считаем идеальным одноатомным газом постоянной массы, процессы равновесные — к каждой точке применимо уравнение Менделеева — Клапейрона, внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, работа равна площади под графиком на $pV$-диаграмме.