Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00051644

Что тут происходит. Два бруска по $m=0{,}25$ кг на гладкой наклонной плоскости соединены пружиной; верхний брусок через нить и блок связан с висящим грузом $M=2$ кг. Груз опускается и тянет бруски вверх. Пружина при этом растянута до $L=18$ см, а без нагрузки её длина $l=15$ см. Нужно найти жёсткость пружины.

Обоснование

1. Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с наклонной плоскостью (с Землёй).

2. Бруски и груз движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками и описывать вторым законом Ньютона для материальной точки.

3. Нить и блок невесомы, трения в оси блока нет, поэтому модуль силы натяжения нити одинаков по обе стороны блока.

4. Нить нерастяжима, а длина пружины постоянна, поэтому все три тела движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a$. Пружина лёгкая, поэтому силы упругости, с которыми она действует на оба бруска, равны по модулю.

5. Плоскость гладкая — трения нет; сила упругости подчиняется закону Гука.

Решение

Шаг 1 — рисунок сил (словами). Груз: $M\vec{g}$ вниз, натяжение $\vec{T}$ вверх. Верхний брусок: $m\vec{g}$, нормальная реакция $\vec{N}_2$, натяжение $\vec{T}$ вверх вдоль плоскости, сила упругости $\vec{F}$ вниз вдоль плоскости. Нижний брусок: $m\vec{g}$, $\vec{N}_1$, сила упругости $\vec{F}$ вверх вдоль плоскости. Сил трения нет — плоскость гладкая; силы нормальной реакции перпендикулярны движению и в уравнения вдоль плоскости не входят.

Шаг 2 — второй закон Ньютона для трёх тел в проекциях на направление движения каждого:

$$Mg-T=Ma,\qquad T-F-mg\sin\alpha=ma,\qquad F-mg\sin\alpha=ma.$$

Шаг 3 — ускорение. Складываем уравнения, внутренние силы $T$ и $F$ выпадают:

$$a=\dfrac{Mg-2mg\sin\alpha}{M+2m}=\dfrac{20-2\cdot0{,}25\cdot10\cdot0{,}5}{2+0{,}5}=\dfrac{17{,}5}{2{,}5}=7\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 4 — сила упругости. Нижний брусок проще всего: на него вдоль плоскости действуют только пружина и составляющая силы тяжести, натяжения нет.

$$F=m(a+g\sin\alpha)=0{,}25\cdot(7+5)=3\ \text{Н}.$$

Шаг 5 — закон Гука. Удлинение пружины $L-l=18-15=3$ см $=0{,}03$ м:

$$k=\dfrac{F}{L-l}=\dfrac{3}{0{,}03}=100\ \text{Н/м}.$$

Проверим себя. Если бы система стояла на месте ($a=0$), пружине пришлось бы удерживать только скатывающую силу $mg\sin\alpha=1{,}25$ Н; в движении она ещё и разгоняет брусок, поэтому сила $3$ Н больше — разумно. Уравнение верхнего бруска: $T=M(g-a)=2\cdot3=6$ Н, $6-3-1{,}25=1{,}75$ Н $=ma=0{,}25\cdot7$ — сходится.