Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048604

Что здесь происходит. Велосипедист едет по склону холма по горизонтальной окружности — всё время на одной высоте. Холм выпуклый: его сила реакции направлена от центра кривизны наружу, то есть мешает повороту. Тянуть велосипедиста к оси холма может только сила трения колёс, направленная вдоль склона к вершине. Чем быстрее он едет, тем больше нужно трения, а трение покоя не может превысить $\mu N$ — отсюда и наибольшая скорость.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Велосипедиста с велосипедом считаем материальной точкой: их размеры малы по сравнению с радиусом холма $48$ м, а поворот и наклон велосипеда нас не интересуют. Холм — сфера, поэтому сила реакции направлена по радиусу от центра $O$. Движение равномерное по горизонтальной окружности: ускорение центростремительное, горизонтальное, к вертикальной оси холма; вертикальная проекция ускорения равна нулю. Колёса катятся без проскальзывания, поэтому сила трения — трение покоя, направленное вдоль поверхности; при наибольшей скорости оно предельное, $F_{\text{тр}}=\mu N$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Шаг 1 — геометрия. Обозначим $\alpha$ угол между радиусом холма, проведённым к велосипедисту, и горизонталью (как на рисунке). Высота над центром $R\sin\alpha$, поэтому

$$\sin\alpha=\dfrac{38{,}4}{48}=0{,}8,\qquad\cos\alpha=0{,}6,\qquad r=R\cos\alpha=48\cdot0{,}6=28{,}8\ \text{м}$$

— это радиус окружности, по которой едет велосипедист.

Шаг 2 — силы. Сила тяжести $m\vec g$ — вниз. Сила реакции $\vec N$ — по радиусу наружу: горизонтально от оси $N\cos\alpha$, вверх $N\sin\alpha$. Сила трения $\vec F_{\text{тр}}$ — вдоль склона к вершине: горизонтально к оси $F_{\text{тр}}\sin\alpha$, вверх $F_{\text{тр}}\cos\alpha$.

Шаг 3 — второй закон Ньютона в проекциях. По вертикали:

$$N\sin\alpha+F_{\text{тр}}\cos\alpha=mg.$$

По горизонтали к оси холма:

$$F_{\text{тр}}\sin\alpha-N\cos\alpha=\dfrac{mv^2}{r}.$$

Шаг 4 — наибольшая скорость: $F_{\text{тр}}=\mu N$. Из вертикальной проекции $N=\dfrac{mg}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}$, и тогда

$$v^2=gr\cdot\dfrac{\mu\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}=10\cdot28{,}8\cdot\dfrac{0{,}64-0{,}6}{0{,}8+0{,}48}=288\cdot\dfrac{0{,}04}{1{,}28}=9\ \text{м}^2/\text{с}^2,$$

$$v=3\ \text{м/с}.$$

Проверим себя. Сила реакции $N=\dfrac{mg}{1{,}28}\approx0{,}78\,mg$, сила трения $0{,}8N=0{,}625\,mg$. Горизонталь: $0{,}625mg\cdot0{,}8-0{,}78mg\cdot0{,}6\approx0{,}031mg$, и $\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{9}{28{,}8}\approx0{,}31$ м/с² — то есть $0{,}031g$, сходится. Нижней границы у скорости нет: склон в этом месте наклонён к горизонту под углом, тангенс которого $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=0{,}75\lt0{,}8$, и велосипедист удержался бы на этой высоте даже стоя. Поэтому в задаче и спрашивают только о максимальной скорости. С более цепкими колёсами (большее $\mu$) числитель $\mu\sin\alpha-\cos\alpha$ растёт, а знаменатель $\sin\alpha+\mu\cos\alpha$ растёт медленнее (производная дроби по $\mu$ равна $\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)^2}\gt0$) — наибольшая скорость увеличится.