Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048657

Что здесь происходит. Груз лежит на горизонтальном диске и привязан пружиной к его центру. Диск крутится, груз крутится вместе с ним по окружности радиусом $R$. Чтобы тело шло по окружности, на него должна действовать сила, направленная к центру. Её дают две горизонтальные силы: пружина и трение покоя. Нужно найти, как далеко от центра груз ещё может лежать неподвижно относительно диска.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной — в ней работает второй закон Ньютона. Груз — материальная точка (его размерами пренебрегаем по условию), поэтому все его точки движутся по одной окружности радиусом $R$. Диск массивный: груз не меняет его вращения, частота $\nu=1{,}5$ Гц постоянна, движение груза — равномерное по окружности с ускорением $\omega^2R$ к центру. Пружина лёгкая и деформируется упруго — сила подчиняется закону Гука. Груз не скользит по диску, поэтому трение — трение покоя: оно может быть любым по модулю от $0$ до $\mu N$. Диск горизонтален и по вертикали ускорения нет, значит $N=mg$.

Шаг 1 — угловая скорость. Обозначим $\nu=1{,}5$ Гц, $\mu=0{,}25$:

$$\omega=2\pi\nu=3\pi\approx9{,}42\ \text{рад/с},\qquad \omega^2\approx88{,}8\ \text{с}^{-2},\qquad m\omega^2\approx0{,}2\cdot88{,}8\approx17{,}8\ \text{Н/м}.$$

Шаг 2 — кто сильнее на большом радиусе. Если груз дальше $L=0{,}2$ м от центра, пружина растянута на $R-L$ и тянет к центру силой $k(R-L)$. А для движения по окружности нужна сила $m\omega^2R$. С каждым метром удаления сила пружины растёт на $k=100$ Н, а нужная сила — только на $m\omega^2\approx17{,}8$ Н. Значит, далеко от центра пружина тянет сильнее, чем нужно, и груз стремится съехать к центру. Трение покоя мешает именно этому — оно направлено от центра.

Шаг 3 — предельное положение. Чем дальше груз, тем больше избыток силы пружины. На максимальном расстоянии трение покоя достигает своего предела $\mu mg=0{,}25\cdot0{,}2\cdot10=0{,}5$ Н. Второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру — плюс):

$$m\omega^2R=k(R-L)-\mu mg.$$

Соберём слагаемые с $R$ слева:

$$R\,(k-m\omega^2)=kL+\mu mg\quad\Rightarrow\quad R_{\max}=\dfrac{kL+\mu mg}{k-m\omega^2}=\dfrac{100\cdot0{,}2+0{,}5}{100-17{,}8}=\dfrac{20{,}5}{82{,}2}\approx0{,}249\ \text{м}\approx0{,}25\ \text{м}.$$

Проверим себя. При $R=0{,}249$ м пружина растянута на $0{,}049$ м и тянет с силой $100\cdot0{,}049\approx4{,}93$ Н. Для окружности нужно $17{,}8\cdot0{,}249\approx4{,}43$ Н. Разница $0{,}50$ Н — ровно предельное трение покоя, и направлено оно от центра, как мы и рассуждали. Тем же способом ближняя граница (там груз стремится наружу, трение к центру) равна $\dfrac{kL-\mu mg}{k-m\omega^2}=\dfrac{19{,}5}{82{,}2}\approx0{,}237$ м. Груз можно положить только в узкое кольцо от $23{,}7$ до $24{,}9$ см: ширину кольца задаёт трение, а оно здесь слабое по сравнению с пружиной.