Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00051643

Что тут происходит. Два бруска по $m=500$ г $=0{,}5$ кг на гладкой наклонной плоскости соединены пружиной. Верхний брусок тянет вверх по плоскости нить, перекинутая через блок, на другом конце которой висит груз $M=2$ кг. Груз опускается, бруски едут вверх, пружина растянута и тянет нижний брусок за собой. Нужно найти длину пружины при движении.

Обоснование

1. Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с наклонной плоскостью (с Землёй).

2. Бруски и груз движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками и описывать вторым законом Ньютона для материальной точки.

3. Нить и блок невесомы, трения в оси блока нет, поэтому модуль силы натяжения нити одинаков по обе стороны блока.

4. Нить нерастяжима, а длина пружины постоянна, поэтому все три тела движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a$. Пружина лёгкая, поэтому силы упругости, с которыми она действует на оба бруска, равны по модулю.

5. Плоскость гладкая — трения нет; сила упругости подчиняется закону Гука.

Решение

Шаг 1 — рисунок сил (словами). Груз: $M\vec{g}$ вниз, натяжение $\vec{T}$ вверх. Верхний брусок: $m\vec{g}$, сила нормальной реакции плоскости $\vec{N}_2$, натяжение $\vec{T}$ вверх вдоль плоскости, сила упругости пружины $\vec{F}$ вниз вдоль плоскости. Нижний брусок: $m\vec{g}$, $\vec{N}_1$ и сила упругости $\vec{F}$ вверх вдоль плоскости. Ускорения брусков направлены вверх вдоль плоскости, груза — вниз.

Шаг 2 — второй закон Ньютона в проекциях на направление движения каждого тела (для брусков — вдоль плоскости; вдоль плоскости тянет составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$):

$$Mg-T=Ma,\qquad T-F-mg\sin\alpha=ma,\qquad F-mg\sin\alpha=ma.$$

Шаг 3 — ускорение. Сложим три уравнения: натяжение и сила упругости — внутренние силы связки, они выпадают:

$$Mg-2mg\sin\alpha=(M+2m)a\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{Mg-2mg\sin\alpha}{M+2m}=\dfrac{20-2\cdot0{,}5\cdot10\cdot0{,}5}{2+1}=\dfrac{15}{3}=5\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 4 — сила упругости из уравнения нижнего бруска и закон Гука $F=k(L-l)$:

$$F=m(a+g\sin\alpha)=0{,}5\cdot(5+5)=5\ \text{Н},\qquad L-l=\dfrac{F}{k}=\dfrac{5}{250}=0{,}02\ \text{м}.$$

Шаг 5 — длина пружины: $L=l+0{,}02$ м $=0{,}10+0{,}02=0{,}12$ м.

Проверим себя. Пружина растянута ($L\gt l$) — так и должно быть: она тянет нижний брусок вверх, иначе тот не ускорялся бы вверх по плоскости. Проверим и уравнение верхнего бруска: $T=M(g-a)=2\cdot5=10$ Н, а $T-F-mg\sin\alpha=10-5-2{,}5=2{,}5$ Н $=ma=0{,}5\cdot5$ — сходится.