Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048660

Что здесь происходит. Мотоциклист едет по внутренней стороне купола выше его центра $O$ — по горизонтальной окружности радиусом $r=R\sin\alpha$, центр которой лежит на вертикальной оси купола. Купол давит на колёса по радиусу, к центру $O$, то есть внутрь и вниз. Тяжесть тоже тянет вниз. Вверх мотоциклиста держит только трение покоя, направленное по касательной к куполу. Минимальная скорость — это случай, когда трения едва хватает: оно равно своему максимуму $\mu N$.

Обоснование модели. Купол неподвижен относительно Земли, систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Мотоциклиста с мотоциклом считаем материальной точкой: их размеры малы по сравнению с радиусом купола, а условие равновесия моментов (чтобы мотоцикл не опрокинулся) в задаче не рассматривается. Движение равномерное по окружности, поэтому ускорение $\dfrac{V^2}{r}$ направлено горизонтально к оси купола. Купол из частых прутьев считаем сплошной поверхностью: сила реакции перпендикулярна ей, то есть направлена к $O$. Колёса не проскальзывают — трение покоя, $F_{\text{тр}}\le\mu N$; при минимальной скорости мотоциклист вот-вот сползёт вниз, поэтому трение направлено вверх по касательной и равно $\mu N$.

Шаг 1 — выбор осей. Удобно взять ось вдоль радиуса к центру $O$ и ось по касательной к куполу вверх: тогда реакция $N$ попадёт только в первое уравнение, а трение — только во второе. Касательная в точке мотоциклиста наклонена к горизонту на угол $\alpha$, радиус — к вертикали на тот же угол $\alpha$.

Шаг 2 — проекции. Горизонтальное ускорение $\dfrac{V^2}{R\sin\alpha}$ даёт на направление к $O$ часть $\dfrac{V^2}{R\sin\alpha}\cdot\sin\alpha=\dfrac{V^2}{R}$, а на касательную — часть $\dfrac{V^2}{R\sin\alpha}\cdot\cos\alpha$. Тяжесть даёт $mg\cos\alpha$ к центру $O$ и $mg\sin\alpha$ вниз по касательной. Второй закон Ньютона:

$$N+mg\cos\alpha=\dfrac{mV^2}{R},\qquad F_{\text{тр}}-mg\sin\alpha=\dfrac{mV^2\cos\alpha}{R\sin\alpha}.$$

Шаг 3 — подставим $V^2=4gR$ и $\alpha=60^\circ$ ($\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$, $\cos\alpha=0{,}5$). Радиус $R$ и масса $m$ сокращаются:

$$N=mg\,(4-\cos\alpha)=3{,}5\,mg,\qquad F_{\text{тр}}=mg\left(\sin\alpha+\dfrac{4\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)=mg\left(0{,}866+2{,}309\right)\approx3{,}175\,mg.$$

Шаг 4 — коэффициент трения. При минимальной скорости $F_{\text{тр}}=\mu N$:

$$\mu=\dfrac{\sin\alpha+4\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{4-\cos\alpha}=\dfrac{4+\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}{4\,\mathrm{tg}\,\alpha-\sin\alpha}=\dfrac{4+1{,}5}{4\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{11}{7\sqrt3}\approx0{,}91.$$

Проверим себя по вертикали: трение даёт вверх $3{,}175\,mg\cdot\sin60^\circ\approx2{,}75\,mg$, реакция вниз $3{,}5\,mg\cdot\cos60^\circ=1{,}75\,mg$, тяжесть вниз $mg$: $2{,}75-1{,}75-1=0$ — по вертикали ускорения нет, как и должно быть. По горизонтали: $3{,}5\cdot0{,}866+3{,}175\cdot0{,}5\approx4{,}62$, а $\dfrac{V^2}{gR\sin\alpha}=\dfrac{4}{0{,}866}\approx4{,}62$ — сходится.