Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048597

Что здесь происходит. Мотоциклист едет по внутренней стороне купола, выше его центра $O$, по горизонтальной окружности. Купол давит на колёса «сверху-внутрь» — к центру $O$, то есть частично вниз. Вверх его держит только сила трения колёс о купол. Чем медленнее он едет, тем слабее прижат к куполу и тем меньше трения можно получить. Поэтому у скорости есть нижняя граница: при ней трение покоя достигает своего наибольшего значения $\mu N$.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с ареной (с Землёй), считаем инерциальной. Мотоциклиста вместе с мотоциклом считаем материальной точкой: их размеры малы по сравнению с радиусом купола $20$ м. Купол из частых прутьев считаем сплошной сферической поверхностью радиуса $R$, поэтому сила реакции $\vec N$ направлена по радиусу к центру $O$. Мотоциклист движется равномерно по горизонтальной окружности, значит, его ускорение — центростремительное, горизонтальное, направлено к вертикальной оси купола, а вертикальная проекция ускорения равна нулю. Колёса не проскальзывают по куполу, поэтому сила трения — трение покоя, направленное вдоль поверхности купола вверх, к его вершине; его наибольшее значение $\mu N$ (коэффициенты трения покоя и скольжения считаем равными). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Шаг 1 — геометрия. Центр окружности лежит на оси купола на высоте $R\cos\alpha=10$ м над ареной, а её радиус

$$r=R\sin\alpha=20\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\approx17{,}3\ \text{м}.$$

Шаг 2 — силы. На мотоциклиста действуют сила тяжести $m\vec g$ (вниз), сила реакции $\vec N$ (к центру $O$: горизонтально внутрь — $N\sin\alpha$, вниз — $N\cos\alpha$) и сила трения $\vec F_{\text{тр}}$ вдоль поверхности к вершине купола (горизонтально внутрь — $F_{\text{тр}}\cos\alpha$, вверх — $F_{\text{тр}}\sin\alpha$).

Шаг 3 — второй закон Ньютона в проекциях. По вертикали ускорения нет:

$$F_{\text{тр}}\sin\alpha=mg+N\cos\alpha.$$

По горизонтали к оси купола — центростремительное ускорение:

$$N\sin\alpha+F_{\text{тр}}\cos\alpha=\dfrac{mV^2}{R\sin\alpha}.$$

Шаг 4 — минимальная скорость. При ней трение покоя предельное: $F_{\text{тр}}=\mu N$. Из вертикальной проекции

$$N(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)=mg\quad\Rightarrow\quad N=\dfrac{mg}{\mu\sin\alpha-\cos\alpha}.$$

Подставляем в горизонтальную проекцию:

$$V^2=gR\sin\alpha\cdot\dfrac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\mu\sin\alpha-\cos\alpha}=gR\sin\alpha\cdot\dfrac{\mu+\text{tg}\,\alpha}{\mu\,\text{tg}\,\alpha-1}.$$

Шаг 5 — числа: $\sin\alpha\approx0{,}866$, $\cos\alpha=0{,}5$.

$$V^2\approx10\cdot20\cdot0{,}866\cdot\dfrac{0{,}866+0{,}4}{0{,}693-0{,}5}=173{,}2\cdot\dfrac{1{,}266}{0{,}193}\approx1137\ \text{м}^2/\text{с}^2,\qquad V\approx33{,}7\ \text{м/с}\approx121\ \text{км/ч}.$$

Проверим себя. Решение существует, только если $\mu\sin\alpha\gt\cos\alpha$, то есть $\mu\,\text{tg}\,\alpha\gt1$: здесь $0{,}8\cdot1{,}73\approx1{,}39\gt1$ — подходит. Если мотоциклист поднимется выше (угол $\alpha$ уменьшится), знаменатель $\mu\sin\alpha-\cos\alpha$ уменьшится, и минимальная скорость вырастет — так и сказано в условии: чем быстрее едет, тем выше может подняться. Наконец, $N=\dfrac{mg}{0{,}193}\approx5{,}2\,mg$ — купол прижимает мотоцикл в пять с лишним раз сильнее его веса, поэтому трения хватает удержать его.