МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00051557

Что тут происходит. Пузырёк всплывает со дна озера глубиной $H=6{,}5$ м и по дороге раздувается: у дна $V_1=2$ мм$^3$, а на искомой глубине $h$ — $V_2=3$ мм$^3$. Нужно найти эту глубину.

Шаг 1 — какой это процесс. Масса воздуха в пузырьке не меняется (испарением пренебрегаем), температура постоянна. Значит, процесс изотермический и выполняется закон Бойля — Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2.$$

Шаг 2 — давления. Поверхностное натяжение не учитываем, поэтому давление в пузырьке равно давлению воды вокруг: атмосферное $p_0$ плюс давление столба воды над пузырьком. У дна и на глубине $h$:

$$p_1=p_0+\rho gH,\qquad p_2=p_0+\rho gh.$$

Шаг 3 — выражаем $h$. Подставим давления в закон Бойля — Мариотта:

$$(p_0+\rho gH)V_1=(p_0+\rho gh)V_2\quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{(p_0+\rho gH)V_1-p_0V_2}{\rho gV_2}.$$

Шаг 4 — числа: $p_0=10^5$ Па, $\rho=1000$ кг/м$^3$, $g=10$ м/с$^2$. Давление у дна известно целиком: $p_1=100\,000+1000\cdot10\cdot6{,}5=165\,000$ Па. Тогда

$$h=\dfrac{165\,000\cdot2-100\,000\cdot3}{1000\cdot10\cdot3}=\dfrac{330\,000-300\,000}{30\,000}=1\ \text{м}.$$

Объёмы можно было не переводить в кубометры: они входят и в числитель, и в знаменатель.

Проверим себя. На глубине $1$ м давление $p_2=100\,000+10\,000=110\,000$ Па. Произведения: $165\,000\cdot2=330\,000$ и $110\,000\cdot3=330\,000$ — совпадают. И по смыслу: пузырёк вырос, значит, он поднялся выше дна, и найденная глубина лежит между $0$ и $6{,}5$ м.