МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048414

Что здесь происходит. Воздух в цилиндре заперт поршнем. Сначала поршень стоит на высоте $18$ см. Кладём на него груз — поршень опускается и поджимает воздух, пока давление воздуха не вырастет настолько, чтобы удержать и поршень, и груз. Новое равновесие — на высоте $16$ см. Зная, насколько поджался воздух, найдём, насколько выросло давление, а значит — вес груза.

Дано: $S=15\ \text{см}^2=1{,}5\cdot10^{-3}$ м², $M=4$ кг, $H=18$ см, $h=16$ см, $p_0=10^5$ Па, $g=10$ м/с². Найти: $m$.

Шаг 1 — давление до груза. На поршень вниз давят атмосфера ($p_0S$) и сила тяжести $Mg$, вверх — воздух в цилиндре ($p_1S$). Поршень в равновесии (второй закон Ньютона при нулевом ускорении):

$$p_1S=p_0S+Mg\quad\Rightarrow\quad p_1=p_0+\dfrac{Mg}{S}=10^5+\dfrac{4\cdot10}{1{,}5\cdot10^{-3}}\approx10^5+26\,667\approx1{,}267\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Шаг 2 — давление после груза из закона Бойля — Мариотта. Температура и масса воздуха не меняются, значит $p_1V_1=p_2V_2$. Сечение одно и то же, объём равен $S$ на высоту столба, площадь сокращается:

$$p_1H=p_2h\quad\Rightarrow\quad p_2=p_1\,\dfrac{H}{h}=1{,}267\cdot10^5\cdot\dfrac{18}{16}\approx1{,}425\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — равновесие с грузом. Теперь сверху давят атмосфера и вес поршня с грузом:

$$p_2S=p_0S+(M+m)g.$$

Вычтем из этого равенства равенство шага 1 — останется только то, что добавил груз:

$$(p_2-p_1)S=mg\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{(p_2-p_1)S}{g}.$$

Шаг 4 — считаем. В общем виде $p_2-p_1=p_1\left(\dfrac{H}{h}-1\right)=\left(p_0+\dfrac{Mg}{S}\right)\dfrac{H-h}{h}$, поэтому

$$m=\dfrac{(H-h)(p_0S+Mg)}{gh}=\dfrac{0{,}02\cdot(10^5\cdot1{,}5\cdot10^{-3}+40)}{10\cdot0{,}16}=\dfrac{0{,}02\cdot190}{1{,}6}=\dfrac{3{,}8}{1{,}6}=2{,}375\ \text{кг}\approx2{,}4\ \text{кг}.$$

Обрати внимание: давление выросло в $\dfrac{18}{16}$ раза, то есть на $\dfrac{1}{8}$ часть, но эта восьмая — от всего давления, которое держит поршень, а оно на $150$ Н из $190$ Н создано атмосферой. Поэтому груз весит $\dfrac{190}{8}=23{,}75$ Н, а не $\dfrac{1}{8}$ веса поршня.

Проверим себя. С грузом $2{,}375$ кг давление под поршнем $10^5+\dfrac{63{,}75}{1{,}5\cdot10^{-3}}=1{,}425\cdot10^5$ Па. Произведения $p_1H=1{,}267\cdot10^5\cdot18\approx2{,}28\cdot10^6$ и $p_2h=1{,}425\cdot10^5\cdot16=2{,}28\cdot10^6$ совпали — закон Бойля — Мариотта выполнен.

Почему модель законна. Воздух — идеальный газ постоянной массы, температура по условию не меняется, значит процесс изотермический. Трения нет, поэтому в новом равновесии сила давления воздуха вместе с атмосферой точно уравновешивает вес поршня с грузом. Высота $16$ см — положение равновесия, когда поршень уже успокоился.