МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048415

Что здесь происходит. Тяжёлый поршень делит закрытый сосуд на две части с одинаковым количеством газа. Потом из верхней части выкачали весь газ — сверху стал вакуум, и теперь поршень держит на себе только газ снизу. Нижний газ при этом расширился, поршень поднялся. Мы знаем, как поделён сосуд после откачки, а найти нужно, как он был поделён до неё.

Дано: в каждой части вначале $\nu=3$ моль, после откачки $\dfrac{V_{\text{в}}'}{V_{\text{н}}'}=\dfrac{2}{3}$, $T=\text{const}$. Найти: $\dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}$.

Шаг 1 — единица объёма. Разобьём весь сосуд на $5$ равных долей $V_0$: после откачки сверху $2V_0$, снизу $3V_0$. Сосуд закрыт, поэтому и до откачки части в сумме занимали $5V_0$. Пусть до откачки нижняя часть занимала $yV_0$, тогда верхняя — $(5-y)V_0$.

Шаг 2 — после откачки. Над поршнем вакуум, поэтому вес поршня уравновешивает только нижний газ (второй закон Ньютона для покоящегося поршня):

$$p_{\text{н}}'S=mg\quad\Rightarrow\quad p_{\text{н}}'=\dfrac{mg}{S}.$$

Шаг 3 — нижний газ до и после. Его количество ($3$ моль) и температура не менялись, поэтому работает закон Бойля — Мариотта:

$$p_{\text{н}}\cdot yV_0=p_{\text{н}}'\cdot3V_0\quad\Rightarrow\quad p_{\text{н}}'=\dfrac{y}{3}\,p_{\text{н}}.$$

Шаг 4 — до откачки. В обеих частях по $3$ моль при одной температуре, поэтому $p_{\text{в}}(5-y)V_0=p_{\text{н}}\,yV_0$, то есть $p_{\text{в}}=\dfrac{y}{5-y}\,p_{\text{н}}$. Равновесие поршня до откачки: $p_{\text{н}}S=p_{\text{в}}S+mg$, или

$$p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\dfrac{mg}{S}=p_{\text{н}}'.$$

Шаг 5 — уравнение для $y$. Подставим выражения шагов 3 и 4 и сократим на $p_{\text{н}}$:

$$1-\dfrac{y}{5-y}=\dfrac{y}{3}\quad\Rightarrow\quad3(5-2y)=y(5-y)\quad\Rightarrow\quad y^2-11y+15=0.$$

$$y=\dfrac{11\pm\sqrt{121-60}}{2}=\dfrac{11\pm\sqrt{61}}{2}.$$

Корень со знаком «плюс» ($\approx9{,}4$) больше всего сосуда ($5$ долей) и не годится. Значит, $y=\dfrac{11-\sqrt{61}}{2}\approx\dfrac{11-7{,}81}{2}\approx1{,}595$.

Шаг 6 — искомое отношение:

$$\dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}=\dfrac{5-y}{y}=\dfrac{\sqrt{61}-1}{11-\sqrt{61}}\approx\dfrac{3{,}405}{1{,}595}\approx2{,}1.$$

Проверим себя. До откачки нижняя часть занимала $1{,}595$ доли, после — $3$ доли: нижний газ расширился почти вдвое, и его давление упало во столько же раз, $p_{\text{н}}'=\dfrac{1{,}595}{3}p_{\text{н}}\approx0{,}532\,p_{\text{н}}$. С другой стороны, $p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=p_{\text{н}}\left(1-\dfrac{1{,}595}{3{,}405}\right)\approx0{,}532\,p_{\text{н}}$ — то же самое. Направление тоже верное: при откачке поршень поднялся, верхняя часть уменьшилась, поэтому до откачки она была больше нижней — отношение больше $\dfrac{2}{3}$ и даже больше $1$.

Почему модель законна. Газ идеальный, температура в обеих частях одинакова и постоянна. Оба состояния равновесные («через длительный промежуток времени»), поэтому силы на поршень уравновешены. Трения нет, сосуд закрыт и жёсткий: сумма объёмов частей постоянна. Количество газа внизу не менялось.